Problem B. 4275. (May 2010)

B. 4275. Solve the equation \(\displaystyle x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}\).

Suggested by F. Pintér, Nagykanizsa, J. Szoldatics, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az \(\displaystyle a=\sqrt{x}\ge 0\) helyettesítéssel az egyenletet

\(\displaystyle a^{12}+2a^7-a^6-2a^4-2a^3-2a-1=0\)

alakra hozhatjuk. A bal oldali kifejezést könnyen szorzattá alakíthatjuk, ha különválasztjuk azokat a tagokat, amelyek foka nem osztható 3-mal: \(\displaystyle 2a^7-2a^4-2a=2a(a^6-a^3-1)\), míg az \(\displaystyle y^4-y^2-2y-1=(y^2-y-1)(y^2+y+1)\) azonosság alapján \(\displaystyle a^{12}-a^6-2a^3-1=(a^6-a^3-1)(a^6+a^3+1)\). így a nemnegatív \(\displaystyle a\) számra az

\(\displaystyle (a^6-a^3-1)(a^6+a^3+2a+1)=0\)

egyenletet kapjuk. Itt a második tényező mindenképpen pozitív, vagyis a nemnegatív \(\displaystyle b=a^3\) számra \(\displaystyle b^2-b-1=0\). A másodfokú egyenlet egyetlen nemnegatív gyökéből

\(\displaystyle b=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\quad a=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{1}{3}},\quad x=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{\frac{2}{3}}.\)

Statistics:

28 students sent a solution.
4 points:	Bősze Zsuzsanna, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Jernei Tamás, Korondi Zénó, Mester Márton, Mészáros András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Repka 666 Dániel, Sieben Bertilla, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Weisz Ágoston, Weisz Gellért, Zahemszky Péter, Zsakó András.
3 points:	Boér Lehel, Tekeli Tamás.
2 points:	1 student.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2010