Problem B. 4291. (September 2010)

B. 4291. Prove that the inequality below is true for all positive numbers a, b, c: a^bb^cc^aa^ab^bc^c.

(4 pont)

Deadline expired on October 11, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A logaritmus-függvény tulajdonságai miatt az egyenlőtlenség ekvivalens a

\(\displaystyle 0\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b+(c-a)\ln c\)

egyenlőtlenséggel. A ciklikus szimmetria miatt elegendő az \(\displaystyle a\le b\le c\), illetve a \(\displaystyle c\le b\le a\) eseteket megvizsgálni. Az első esetben

\(\displaystyle (b-a)\ln a+ (c-b)\ln b\le (b-a)\ln c+ (c-b)\ln c=(c-a)\ln c,\)

míg a másodikban

\(\displaystyle (a-c)\ln c= (a-b)\ln c+(b-c)\ln c\le (a-b)\ln a+(b-c)\ln b\)

igazolja az állítást. Azt is könnyen leolvashatjuk, hogy egyenlőség pontosan akkor áll fenn, ha mind a három szám ugyanaz.

Statistics:

135 students sent a solution.
4 points:	57 students.
3 points:	5 students.
2 points:	39 students.
1 point:	11 students.
0 point:	20 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2010