Problem B. 4306. (November 2010)
B. 4306. Solve the equation 16x2+y+16y2+x=1.
(Competition problem from Transsylvania)
(4 pont)
Deadline expired on December 10, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás.
\(\displaystyle 16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}=16^{x^2+y^2+x+y}\ge 16^{-\frac{1}{2}}= \frac{1}{4},\)
hiszen
\(\displaystyle x^2+y^2+x+y+\frac{1}{2}=\Bigl(x+\frac{1}{2}\Bigr)^2+ \Bigl(y+\frac{1}{2}\Bigr)^2\ge 0.\)
Egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\). Felhasználva a számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenséget,
\(\displaystyle 16^{x^2+y} + 16^{y^2+x}\ge 2\sqrt{16^{x^2+y}\cdot 16^{y^2+x}}\ge 1,\)
és a leírtak alapján világos, hogy egyenlőség csak az \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\) esetben állhat fenn. Mivel akkor valóban fennáll, az egyenlet egyetlen megoldása \(\displaystyle x=y=-\frac{1}{2}\).
Statistics:
109 students sent a solution. 4 points: 63 students. 3 points: 10 students. 2 points: 9 students. 1 point: 14 students. 0 point: 11 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010