Problem B. 4323. (January 2011)

B. 4323. Solve the following equation: $\frac{1+x^4}{{(1+x)}^4} = \frac{3}{4}$ .

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A bal oldalon álló tört nevezője pontosan akkor 0, ha $\displaystyle x=-1$. Ennek 4-szeresével való beszorzás és átrendezés után az

$\displaystyle x^4-12x^3-18x^2-12x+1=0$

egyenletet kapjuk, mely ekvivalens az eredetivel, hiszen nem gyöke a $\displaystyle -1$. Az $\displaystyle y=x+\frac{1}{x}$ helyettesítést alkalmazva az egyenlet $\displaystyle y^2-12y-20$ alakra hozható, melynek gyökei $\displaystyle y_{1,2}=6\pm\sqrt{56}$. Mivel $\displaystyle |6-\sqrt{56}|<2$, $\displaystyle y=6-\sqrt{56}$ esetén az $\displaystyle x^2-yx+1=0$ egyenletnek nincs valós megoldása. Ezzel az eredeti egyenletet az

$\displaystyle x^2-(6+\sqrt{56})x+1=0$

egyenletre redukáltuk, melynek megoldása

$\displaystyle x_{1,2}=3+\sqrt{14}\pm \sqrt{22+6\sqrt{14}}.$

Statistics:

166 students sent a solution.

3 points: 88 students.

2 points: 45 students.

1 point: 21 students.

0 point: 9 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011

166 students sent a solution.
3 points:	88 students.
2 points:	45 students.
1 point:	21 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?