Problem B. 4325. (January 2011)

B. 4325. a) Is the inequality PA+PB<CA+CB true for all interior points P of an arbitrary triangle ABC? b) Is the inequality PA+PB+PC<DA+DB+DC true for all interior points P of an arbitrary tetrahedron ABCD?

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tekintsük az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkjában azon \(\displaystyle E\) pontokat, amelyekre \(\displaystyle EA+EB=CA+CB\). Ezek a pontok egy olyan ellipszisen helyezkednek el, melynek fókuszpontjai \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\), továbbá áthalad a \(\displaystyle C\) ponton. Mivel az ellipszislemez konvex alakzat és tartalmazza az \(\displaystyle ABC\) háromszög három csúcsát, az \(\displaystyle ABC\) háromszög összes belső pontja az ellipszislemeznek is belső pontja. Az ellipszislemez belső pontjai viszont éppen azok a \(\displaystyle P\) pontok, melyekre fennáll a \(\displaystyle PA+PB<CA+CB\) egyenlőtlenség. Az első kérdésre tehát igenlő a válasz.

A második kérdésre azonban nemleges. Tekintsük ugyanis azt a tetraédert, amelynek csúcsai \(\displaystyle A(-1;0;0)\), \(\displaystyle B(0;-1;0)\), \(\displaystyle C(1;1;1)\) és \(\displaystyle D(0;0;0)\). Ebben a tetraéderben a térbeli Pithagorasz-tétel szerint \(\displaystyle DA+DB+DC= 2+\sqrt{3}\) és \(\displaystyle CA+CB= 2\sqrt{6}\), vagyis \(\displaystyle CA+CB+CC>4>DA+DB+DC\). Mivel \(\displaystyle PA+PB+PC\) a \(\displaystyle P\) pont helyzetével folytonosan változik, ha a \(\displaystyle C\) pontot kicsit elmozdítjuk a tetraéder belsejébe, olyan \(\displaystyle P\) ponthoz jutunk, amelyre \(\displaystyle PA+PB+PC>DA+DB+DC\) még mindig fennáll.

Statistics:

66 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Bálint Csaba, Bősze Zsuzsanna, Damásdi Gábor, Énekes Péter, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Hegedűs Csaba, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kabos Eszter, Kiss 542 Robin, Medek Ákos, Neukirchner Elisabeth, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szilágyi Gergely Bence, Tossenberger Tamás, Viharos Andor, Zilahi Tamás.
4 points:	Baráti László, Nagy Róbert, Szabó 928 Attila, Tekeli Tamás, Vajda Balázs.
3 points:	2 students.
2 points:	17 students.
1 point:	3 students.
0 point:	10 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011