Problem B. 4329. (January 2011)

B. 4329. Express the exact value of sin (/2²⁰¹¹) only using digits of 1 and 2, the four basic operations and square roots.

(4 pont)

Deadline expired on February 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel \(\displaystyle \cos 2x=2\cos^2x-1\), ha \(\displaystyle \cos(x/2)\) értéke nem negatív, úgy

\(\displaystyle \cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{\cos x+1}{2}}\ .\)

Mármost \(\displaystyle \cos \pi=-1\), \(\displaystyle \cos (\pi/2)=0\), \(\displaystyle \cos(\pi/4)=\sqrt{1/2}\) és minden \(\displaystyle i>1\) egész számra \(\displaystyle \cos(\pi/2^i)\) pozitív. Vagyis a fenti képlet szerint

\(\displaystyle \cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}+1}{2}}\ ,\qquad \cos\frac{\pi}{16}= \sqrt{\frac{\sqrt{\frac{\sqrt{\frac{1}{2}}+1}{2}}+1}{2}}\ ,\)

és általában, ha valamely \(\displaystyle i\ge 2\) esetén \(\displaystyle \cos(\pi/2^i)\) értékét felírtuk az 1 és 2 számjegyek, valamint az alapműveletek és négyzetgyökjelek segítségével, akkor \(\displaystyle \cos(\pi/2^{i+1})\) értékét úgy tudjuk felírni a kívánt módon, hogy az előzőleg felírt számhoz 1-et hozzáadunk, az így kapott számot elosztjuk 2-vel, majd az egészből négyzetgyököt vonunk. Ezzel az eljárással a \(\displaystyle \cos(\pi/4)=\sqrt{1/2}\) kifejezésből 2009 lépésben megkapjuk \(\displaystyle \cos(\pi/2^{2011})\) értékét, melynek felírásához összesen 2010 darab 1-es, ugyanennyi 2-es számjegyet, 2009 darab összeadást, 2010 darab osztást és ugyancsak 2010 darab négyzetgyökvonást használunk; legkívül négyzetgyökjel szerepel.

Tekintetbe véve, hogy \(\displaystyle \sin(\pi/2^{2011})>0\), a \(\displaystyle \sin^2x+\cos^2x=1\) összefüggés alapján \(\displaystyle \sin(\pi/2^{2011})\) pontos értékének megfelelő felírásához \(\displaystyle \cos(\pi/2^{2011})\) értékének fenti felírásából először hagyjuk el a legkülső négyzetgyökjelet, az így kapott számot vonjuk ki az 1-ből, majd az egészből vonjunk négyzetgyököt.

Statistics:

55 students sent a solution.
4 points:	Árvay Balázs, Boér Lehel, Bogár Blanka, Bunth Gergely, Csuka Róbert, Damásdi Gábor, Dolgos Tamás, Dudás 002 Zsolt, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Gróf Gábor, Gyarmati Máté, Hajnal Máté, Kabos Eszter, Klincsik Gergely, Köpenczei Gergő, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Nemecskó István, Sagmeister Ádám, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Tossenberger Tamás, Tran Trong Hoang Tuan, Zsakó András.
3 points:	Böőr Katalin, Dinev Georgi, Dobosy Kristóf, Halász Dániel, Lajos Mátyás, Maga Balázs, Perjési Gábor, Rábai Domonkos, Schwarcz Gergő, Szilágyi Gergely Bence, Tekeli Tamás, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka.
2 points:	7 students.
1 point:	3 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2011