Problem B. 4336. (February 2011)
B. 4336. Regular triangles are drawn over the sides AB and BC of a parallelogram ABCD on the outside. Their third vertices are E and F, respectively. Show that the sum of the angles CED and AFD is 60o.
(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)
(4 pont)
Deadline expired on March 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel \(\displaystyle AD=CF\), \(\displaystyle AE=CD\), valamint az \(\displaystyle DAE\) és \(\displaystyle FCD\) szögek is egyenlők, látható, hogy a \(\displaystyle DAE\) és \(\displaystyle FCD\) háromszögek egybevágók, tehát \(\displaystyle DE=DF\).
A \(\displaystyle CBE\) háromszöget \(\displaystyle B\) körül (óramutató járásával megegyező irányban) \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöggel elforgatva kapjuk az \(\displaystyle FBA\) háromszöget. Ha ezt a háromszöget \(\displaystyle F\) körül forgatjuk el \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöggel, az \(\displaystyle FCG\) háromszöghöz jutunk. Az így nyert \(\displaystyle G\) pontra teljesül tehát, hogy \(\displaystyle CE=FA=FG\), továbbá hogy mind az \(\displaystyle AFG\), mind a \(\displaystyle DCG\) háromszög is szabályos, vagyis \(\displaystyle DC=DG\) is teljesül.
Mindezeket egybevetve kapjuk, hogy a \(\displaystyle DEC\) és \(\displaystyle DFG\) háromszögek egybevágók, következésképpen
\(\displaystyle AFD\sphericalangle+CED\sphericalangle=AFD\sphericalangle+DFG\sphericalangle=AFG\sphericalangle=60^\circ.\)
Statistics:
102 students sent a solution. 4 points: Ágoston Péter, Baráti László, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Herczeg József, Homonnay Bálint, Kenéz Balázs, Klincsik Gergely, Lenger Dániel, Mihálykó András, Molnár Ákos, Sagmeister Ádám, Scharle Csilla, Schultz Vera Magdolna, Schwarcz Gergő, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Varjú János, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért. 3 points: 63 students. 2 points: 11 students. 1 point: 2 students. 0 point: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011