Problem B. 4339. (February 2011)

B. 4339. Is the inequality PA+PB+PC<DA+DB+DC true for every interior point P of a regular tetrahedron ABCD?

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A tetraéder éleinek hosszát jelölje \(\displaystyle d\). Válasszuk ki a tetraéder tetszőleges \(\displaystyle X\) csúcsát és rajzoljuk meg az \(\displaystyle X\) középpontú \(\displaystyle d\) sugarú gömböt. A tetraéder további három csúcsa illeszkedik a gömb felületére. A gömb, mely egy konvex alakzat, tartalmazza a tetraéder négy csúcsát, tehát tartalmaznia kell az egész tetraédert is, ami a csúcshalmazának konvex burka. Ezért a tetraéder minden belső pontja egyben a gömbnek is belső pontja, vagyis \(\displaystyle d\)-nél közelebb esik \(\displaystyle X\)-hez. Ennek alapján pedig

\(\displaystyle PA+PB+PC<3d=DA+DB+DC,\)

vagyis az állítás igaz.

Statistics:

65 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Bálint Csaba, Baráti László, Beke Lilla, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Csahóczi 222 Márton, Damásdi Gábor, Dudás 002 Zsolt, Énekes Péter, Énekes Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Győrfi 946 Mónika, Hajnal Máté, Herczeg József, Homonnay Bálint, Hopp Norbert, Horváth János, Kabos Eszter, Kenéz Balázs, Kiss 666 Péter, Kovács 737 Ármin, Maga Balázs, Major Attila, Mátrahegyi Roland, Mihálykó András, Nagy Balázs, Nagy Róbert, Perjési Gábor, Prágai Benedek, Rochlitz Bence, Sándor Áron Endre, Sieben Bertilla, Simig Dániel, Strenner Péter, Szabó 928 Attila, Szilágyi Gergely Bence, Tatár Dániel, Tekeli Tamás, Trócsányi Péter, Ulveczki Balázs, Vajda Balázs, Varjú János, Viharos Andor, Weisz Ambrus, Weisz Gellért, Zelena Réka, Zilahi Tamás, Zsiros Ádám.
3 points:	5 students.
2 points:	3 students.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2011