Problem B. 4342. (March 2011)

B. 4342. In the lottery, 5 numbers are drawn out of the numbers 1 to 90. If the numbers drawn are always listed in increasing order, which number will occur the most frequently in the second place?

(3 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A második helyen álló számot \(\displaystyle k\)-val jelölve, \(\displaystyle 2\le k\le 87\). A húzás egyforma valószínűséggel előforduló \(\displaystyle {90\choose 5}\) különböző lehetséges kimenetele közül azok száma, ahol éppen egy adott 2 és 87 közé eső \(\displaystyle k\) szám lesz a második, \(\displaystyle f(k)=(k-1){90-k\choose 3}\). Mármost az

\(\displaystyle f(k+1)-f(k)=k{90-(k+1)\choose 3}-(k-1){90-k\choose 3} =\frac{(89-k)(88-k)}{6}\cdot(90-4k)\)

különbség pozitív, ha \(\displaystyle k\le 22\) és negatív, ha \(\displaystyle k\ge 23\). Ez azt jelenti, hogy \(\displaystyle k=23\) esetén lesz \(\displaystyle f(k)\) értéke a lehető legnagyobb, vagyis a 23-as szám fordul elő leggyakrabban a második helyen.

Statistics:

106 students sent a solution.
3 points:	Ágoston Péter, Baráti László, Beleznay Soma, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Csörgő András, Dolgos Tamás, Fatér Alexa, Fellner Máté, Forrás Bence, Halász Dániel, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Kaprinai Balázs, Kenéz Balázs, Lenger Dániel, Máthé László, Nagy 111 Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Dániel Bálint, Radó Hanna, Sagmeister Ádám, Sieben Bertilla, Takács 737 Gábor, Tatár Dániel, Tekeli Tamás, Tossenberger Tamás, Török Mihály, Varga 515 Balázs, Varga 911 Szabolcs, Vuchetich Bálint, Zilahi Tamás, Zsakó András.
2 points:	38 students.
1 point:	19 students.
0 point:	15 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011