Problem B. 4349. (March 2011)

B. 4349. Prove that if a quadrilateral can be covered with a disc of unit radius then the product of its sides cannot be more than 4.

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Elegendő az állítást azokra az esetekre igazolni, amikor a négyszög összes csúcsa a körlemezt határoló \(\displaystyle k\) körvonalra esik. Ellenkező esetben ugyanis az \(\displaystyle n\) négyszöghöz található olyan négyszög, melynek mind a négy csúcsa \(\displaystyle k\)-ra illeszkedik, oldalainak szorzata pedig nagyobb, mint az \(\displaystyle n\) négyszög oldalainak szorzata. Ilyen négyszöget a következőképpen találhatunk. Először is mozgassuk el az \(\displaystyle n\) négyszöget a körlemezben úgy, hogy két csúcsa \(\displaystyle k\)-ra illeszkedjék. Az így kapott négyszög legyen \(\displaystyle n'\). Ha az \(\displaystyle n'\) négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) átellenes csúcsai illeszkednek \(\displaystyle k\)-ra, de a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) csúcsok közül valamelyik nem, akkor azt a csúcsot az \(\displaystyle AC\) átlóra merőlegesen mozgassuk el a körvonalig; eközben a csúcsra illeszkedő oldalak hossza növekedni fog. Ha pedig az \(\displaystyle n'\) négyszög \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) szomszédos csúcsai illeszkednek \(\displaystyle k\)-ra, de a \(\displaystyle C\) és \(\displaystyle D\) csúcsok közül egyik sem, akkor a \(\displaystyle CD\) szakaszt az \(\displaystyle AB\) oldalra merőlegesen mozgassuk el addig, amíg valamelyik végpontja a körvonalra nem kerül; ekkor az \(\displaystyle AD\) és \(\displaystyle BC\) oldalak hossza növekedni fog, a másik kettőé pedig változatlan marad. Az így kapott \(\displaystyle n''\) négyszögnek pedig már lesz két átellenes csúcsa a körön, így arra az előző eljárást alkalmazhatjuk.

Tegyük fel tehát, hogy a négyszög csúcsai az egységsugarú \(\displaystyle k\) körvonalra esnek, az oldalakhoz tartozó középponti szögek fele legyen \(\displaystyle \alpha, \beta, \gamma, \delta\). Ha a négyszög nem tartalmazza a \(\displaystyle k\) kör középpontját, akkor a leghosszabb oldalához tartozó középponti szöget konkáv szögként értelmezzük. Ekkor \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=\pi\). Mivel a szinusz függvény a \(\displaystyle [0,\pi]\) intervallumon konkáv, a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség és a Jensen-egyenlőtlenség értelmében az oldalak \(\displaystyle P\) szorzatára

\(\displaystyle P=(2\sin\alpha)(2\sin\beta)(2\sin\gamma)(2\sin\delta)\le 16\left(\frac{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma+\sin\delta}{4}\right)^4\le\)

\(\displaystyle \le 16\sin^4\left(\frac{\alpha+\beta+\gamma+\delta}{4}\right) =16\sin^4\left(\frac{\pi}{4}\right)=16\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^4=4.\)

Egyenlőség pedig pontosan akkor teljesül, ha \(\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=\delta=\pi/4\), vagyis a körlemezbe írt négyzet esetében.

Statistics:

87 students sent a solution.
4 points:	68 students.
3 points:	8 students.
2 points:	1 student.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011