Problem B. 4385. (October 2011)
B. 4385. Solve the simultaneous equations {x}={x2}={x3} (where {y} denotes the fractional part of the number y, obtained by subtracting from y the greatest integer not greater than y).
(4 pont)
Deadline expired on November 10, 2011.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Tegyük fel, hogy az \(\displaystyle x\) valós szám megoldása az egyenletrendszernek. Ekkor \(\displaystyle x^2-x\) és \(\displaystyle x^3-x^2=x(x^2-x)\) is egész számok. Ha \(\displaystyle x^2-x\ne 0\), akkor a két szám hányadosa, vagyis \(\displaystyle x\) racionális szám. Ez akkor is igaz, ha \(\displaystyle x^2-x=0\), hiszen ekkor \(\displaystyle x\) értéke 0 vagy 1. Legyen tehát \(\displaystyle x=a/b\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) egymáshoz relatív prím egész számok. Ekkor \(\displaystyle x^2-x=\frac{a^2-ab}{b^2}\). Ha ez egész szám, akkor \(\displaystyle a^2-ab\), és így \(\displaystyle a^2\) is osztható \(\displaystyle b\)-vel. Mivel \(\displaystyle (a,b)=1\), ez csak \(\displaystyle b=\pm1\) esetén lehetséges, ami azt jelenti, hogy \(\displaystyle x\) egész szám. Minthogy pedig minden \(\displaystyle x\) egész számra \(\displaystyle \{x\} =\{x^2\} =\{x^3\}=0\), az egyenletrendszer megoldásai éppen az egész számok.
Statistics:
97 students sent a solution. 4 points: Barna István, Bősze Zsuzsanna, Bunth Gergely, Dolgos Tamás, Fonyó Viktória, Gyarmati Máté, Hajnal Péter János, Halász Dániel, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Máthé László, Mester Márton, Mihálykó András, Nagy Róbert, Sagmeister Ádám, Tossenberger Tamás, Trócsányi Péter, Viharos Andor. 3 points: 34 students. 2 points: 6 students. 0 point: 37 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, October 2011