Problem B. 4404. (December 2011)
B. 4404. The angles of a polygon A1A2...A2n are all equal, and its sides satisfy A1A2=A3A4=...=A2n-1A2n and A2A3=A4A5=...=A2nA1. Prove that the polygon is cyclic.
(3 pont)
Deadline expired on January 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Jelölje az \(\displaystyle A_iA_{i+1}\) oldal felező merőlegesét \(\displaystyle f_i\), az \(\displaystyle f_1\) és \(\displaystyle f_2\) egyenesek metszéspontját \(\displaystyle O\). Ha az \(\displaystyle f_i\) egyenesre \(\displaystyle 2\le i\le 2n-2\) tükrözzük az \(\displaystyle A_{i-1}A_i\) oldalt, akkor az \(\displaystyle A_{i+1}A_{i+2}\) oldalhoz jutunk, tehát \(\displaystyle f_{i-1}\) tükörképe az \(\displaystyle f_i\) egyenesre éppen \(\displaystyle f_{i+1}\) lesz. Ebből az észrevételből \(\displaystyle i\) szerinti teljes indukcióval adódik, hogy az \(\displaystyle f_i\) és \(\displaystyle f_{i+1}\) egyenesek minden \(\displaystyle 1\le i\le 2n-2\) esetén az \(\displaystyle O\) pontban metszik egymást, vagyis az \(\displaystyle A_i, A_{i+1},A_{i+2}\) pontok az \(\displaystyle O\) ponttól ugyanolyan távolságban helyezkednek el. Ebből pedig ismétcsak indukcióval belátható, hogy az összes csúcs rajta van az \(\displaystyle O\) középpontú, \(\displaystyle OA_1\) sugarú körön.
Statistics:
115 students sent a solution. 3 points: 69 students. 2 points: 24 students. 1 point: 13 students. 0 point: 8 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011