Problem B. 4411. (December 2011)

B. 4411. The axes of two right circular cones are parallel, and their apex angles are different. Prove that their common points all lie on the surface of a sphere.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyük fel úgy a derékszögű \(\displaystyle (x,y,z)\)-koordinátarendszert, hogy az első kúp csúcsa az origóba essen, tengelye pedig egybeessen a \(\displaystyle z\)-tengellyel. Tegyük fel, hogy ennek a kúpnak az alkotói a \(\displaystyle z\)-tengellyel \(\displaystyle \alpha\) szöget zárnak be. Ekkor a kúpnak a \(\displaystyle z=t\) síkkal vett metszete egy olyan körvonal, melynek sugara \(\displaystyle (\tg\alpha)t\), a \(\displaystyle t=0\) esetben ez egy ponttá fajul el. A kúp egyenlete tehát \(\displaystyle x^2+y^2=Az^2\), ahol \(\displaystyle A=\tg^2\alpha\ne 0\). Ha a másik kúp csúcsának koordinátái \(\displaystyle (a,b,c)\), alkotóinak a tengellyel bezárt szöge pedig \(\displaystyle \beta\), akkor ennek a kúpnak az egyenlete

\(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=B(z-c)^2,\)

ahol \(\displaystyle B=\tg^2\beta\ne 0\), és az \(\displaystyle \alpha\ne \beta\) feltétel miatt \(\displaystyle A\ne B\).

Szorozzuk be az \(\displaystyle x^2+y^2-Az^2\) egyenletet egy \(\displaystyle \lambda\), az \(\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2-B(z-c)^2=0\) egyenletet pedig egy \(\displaystyle \mu\) számmal úgy, hogy azokat összeadva \(\displaystyle x^2,y^2\) és \(\displaystyle z^2\) együtthatója egyaránt 1 legyen. Ehhez a \(\displaystyle \lambda+\mu=-A\lambda-B\mu=1\) feltételeket kell kielégíteni, ami a

\(\displaystyle \lambda=\frac{1+B}{B-A},\quad \mu=\frac{-1-A}{B-A}\)

választással valósítható meg. A két körkúp metszéspontjainak koordinátái tehát kielégítik az így kapott

\(\displaystyle (x^2-2\mu ax+\mu a^2)+(y^2-2\mu b y+\mu b^2)+(z^2+2\mu Bcz-\mu Bc^2)=0\)

egyenletet. A metszéspontok tehát rajta vannak az

\(\displaystyle (x-\mu a)^2+(y-\mu b)^2+(z+\mu Bc)^2= (\mu^2-\mu)a^2+(\mu^2-\mu)b^2+(\mu^2B^2+\mu B)c^2\)

egyenletű, esetleg elfajuló gömbön. Nem nehéz ellenőrizni, hogy \(\displaystyle \mu^2-\mu\) és \(\displaystyle \mu^2B^2+\mu B\) is pozitív, tehát a gömb soha nem üres halmaz és egy ponttá is csak az \(\displaystyle a=b=c=0\) esetben (vagyis ha a két kúp csúcspontja egybeesik) fajulhat el, de ez az állítás szempontjából lényegtelen, hiszen az üres halmaz és akármely egypontú halmaz is tekinthető egy alkalmas gömb részhalmazának.

Statistics:

12 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Kiss 902 Melinda Flóra, Mester Márton, Nagy Róbert, Strenner Péter.
4 points:	Horváth János, Machó Bónis.
3 points:	1 student.
1 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2011