Problem B. 4418. (January 2012)
B. 4418. Regular triangles ABD, BCE and CAF are drawn over the sides of triangle ABC on the outside. Let G, H and I denote the midpoints of line segments DE, EF and FD, respectively. Prove that the sum of the angles AHB, BIC and CGA is 180o.
(Suggested by Sz. Miklós, Herceghalom)
(5 pont)
Deadline expired on February 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Irányított szögekkel dolgozva, felírhatjuk, hogy
\(\displaystyle AHB\sphericalangle=ACB\sphericalangle+HAC\sphericalangle-HBC\sphericalangle,\)
\(\displaystyle BIC\sphericalangle=BAC\sphericalangle+IBA\sphericalangle-ICA\sphericalangle,\)
\(\displaystyle CGA\sphericalangle=CBA\sphericalangle+GCB\sphericalangle-GAB\sphericalangle.\)
A három egyenlőséget összeadva, a szokásos jelölésekkel
\(\displaystyle AHB\sphericalangle+BIC\sphericalangle+CGA\sphericalangle=(\alpha+\beta+\gamma)+HAC\sphericalangle+CBH\sphericalangle+\)
\(\displaystyle +IBA\sphericalangle+ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle+BAG\sphericalangle,\)
tehát elég azt igazolnunk, hogy
\(\displaystyle HAC\sphericalangle+CBH\sphericalangle+IBA\sphericalangle+ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle+BAG\sphericalangle=0.\)
Megtartva a szeptemberi B. 4377. feladat megoldásának jelöléseit, a \(\displaystyle BAB'\) háromszöget az \(\displaystyle A\) pont körüli \(\displaystyle 60^\circ\)-os \(\displaystyle \Phi\) forgatás a \(\displaystyle C'AC\) háromszögbe viszi. Ezért mivel \(\displaystyle G\) a \(\displaystyle BB'\), \(\displaystyle H\) pedig a \(\displaystyle CC'\) szakasz felezőpontja,
\(\displaystyle BAG\sphericalangle+HAC\sphericalangle=BAG\sphericalangle+GAB'\sphericalangle=BAB'\sphericalangle=BAC\sphericalangle-B'AC\sphericalangle=\alpha-60^\circ.\)
Ugyanígy \(\displaystyle CBH\sphericalangle+IBA\sphericalangle=\beta-60^\circ\) és \(\displaystyle ACI\sphericalangle+GCB\sphericalangle =\gamma-60^\circ\). E három egyenlőséget összeadva éppen a bizonyítandó állítást kapjuk.
Statistics:
23 students sent a solution. 5 points: Ágoston Péter, Ágoston Tamás, Dinev Georgi, Fehér Zsombor, Gyarmati Máté, Havasi 0 Márton, Janzer Olivér, Jávorszky Natasa, Kiss 902 Melinda Flóra, Maga Balázs, Medek Ákos, Mester Márton, Nagy Anna Noémi, Nagy Róbert, Nagy-György Pál, Strenner Péter, Szabó 777 Bence, Szabó 789 Barnabás, Tossenberger Tamás, Zsiros Ádám. 4 points: Szabó 928 Attila. 2 points: 2 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2012