Problem B. 4427. (February 2012)
B. 4427. Show that if , and are the angles of a triangle then (sin +sin +sin )2>9sin sin sin .
(3 pont)
Deadline expired on March 12, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Mivel \(\displaystyle \sin\alpha, \sin\beta, \sin\gamma\) 1-nél nem nagyobb pozitív számok, és nem lehet mindegyikük 1-gyel egyenlő,
\(\displaystyle 0<\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma<1.\)
A számtani és mértani közepek között fennálló egyenlőtlenség szerint
\(\displaystyle \frac{\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma}{3}\ge \root{3}\of{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma},\)
ahonnan
\(\displaystyle \frac{(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma)^2}{9}\ge (\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma)^{2/3}> \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma.\)
Statistics:
110 students sent a solution. 3 points: 73 students. 2 points: 26 students. 1 point: 3 students. 0 point: 7 students. Unfair, not evaluated: 1 solutions.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2012