Problem B. 4439. (March 2012)

B. 4439. Given two different points B and C in the plane, determine the locus of those points A for which the altitude drawn from vertex A of the triangle ABC is the geometric mean of the line segments  BC+AC and BC-AC.

(3 pont)

Deadline expired on April 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Vegyünk fel egy derékszögű koordinátarendszert, melynek középpontja \(\displaystyle C\), a \(\displaystyle B\) pont koordinátái pedig \(\displaystyle (1;0)\). Ha az \(\displaystyle A\) pont koordinátái \(\displaystyle (x;y)\), ahol \(\displaystyle y\ne 0\), akkor az \(\displaystyle A\)-hoz tartozó magasság \(\displaystyle M\) talppontja az \(\displaystyle (x;0)\) pont. Ekkor \(\displaystyle BC=1\), \(\displaystyle AM=y\) és \(\displaystyle AC^2=x^2+y^2\), vagyis az \(\displaystyle AM^2=(BC+AC)(BC-AC)\) feltétel ekvivalens az \(\displaystyle y^2+(x^2+y^2)=1\) feltétellel. Ezek szerint a mértani hely egyenlete \(\displaystyle x^2+2y^2=1\) (\(\displaystyle y\ne 0\)), vagyis a \(\displaystyle B\) pontnak a \(\displaystyle C\)-re vett tükörképét \(\displaystyle B'\)-vel jelölve, a mértani hely az a nagytengelye végpontjaitól megfosztott ellipszis, melynek nagytengelye a \(\displaystyle BB'\) szakasz, kistengelyének hossza pedig a nagytengely hosszának \(\displaystyle 1/\sqrt{2}\) része.

Statistics:

62 students sent a solution.
3 points:	Ágoston Péter, Babik Bálint, Balogh Tamás, Bingler Arnold, Bősze Zsuzsanna, Czipó Bence, Di Giovanni Márk, Emri Tamás, Énekes Tamás, Fehér Zsombor, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Győrfi 946 Mónika, Janzer Barnabás, Kabos Eszter, Katona Dániel, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács-Deák Máté, Maga Balázs, Makk László, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy-György Pál, Onódi Péter, Sagmeister Ádám, Schultz Vera Magdolna, Somogyvári Kristóf, Szabó 789 Barnabás, Szabó 928 Attila, Tardos Jakab, Tóth Balázs, Varga 911 Szabolcs, Weimann Richárd, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia, Zahemszky Péter, Zsiros Ádám.
2 points:	Géczi Péter Attila, Lezsák Gábor, Papp Roland.
1 point:	10 students.
0 point:	12 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2012