Problem B. 4447. (April 2012)

B. 4447. Solve the equation $\sqrt{x-3} + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{{(x-2)}^3}$ .

(4 pont)

Deadline expired on May 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az y=x-2 helyettesítéssel az egyenlet $\sqrt{y-1}+\sqrt{y^2-1}=\sqrt{y^3}$ alakra hozható. A gyökös kifejezések pontosan akkor lesznek mind értelmesek, ha y $\ge$ 1; ekkor mindkét oldal nemnegatív. Az y $\ge$ 1 feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott

$(y-1)+(y^2-1)+2\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=y^3$

egyenlettel. Vezessük be a $z=\sqrt{(y-1)(y^2-1)}=\sqrt{y^3-y^2-y+1}$ változót, erre nézve a fenti egyenlet a z²-2z+1=0 alakra hozható, vagyis z=1. Ez azt jelenti, hogy az y³-y²-y+1=1, vagyis az y(y²-y-1)=0 egyenletet kell megoldanunk az y $\ge$ 1 feltétel mellett. Ennek megoldása $y=(1+\sqrt{5})/2$ , ahonnan $x=y+2=(5+\sqrt{5})/2$ .

Statistics:

97 students sent a solution.

4 points: 80 students.

3 points: 3 students.

2 points: 6 students.

1 point: 7 students.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2012

97 students sent a solution.
4 points:	80 students.
3 points:	3 students.
2 points:	6 students.
1 point:	7 students.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?