Problem B. 4452. (May 2012)

B. 4452. Let t>0 be a real number, and let T_i denote the sum $t^{i}+\frac{1}{t^{i}}$ (for all positive integers i). Prove that $T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}$ for all positive integers k.

Suggested by J. Pataki, Budapest

(3 pont)

Deadline expired on June 11, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az állítást k szerinti teljes indukcióval bizonyítjuk. Ha k=1, akkor az állítás nyilvánvaló. Tegyük fel, hogy az állítást valamely k pozitív egészre már beláttuk. Mivel

$T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1}= (t^1+t^{-1})+(t^3+t^{-3})+\ldots+(t^{2^{k}-1}+t^{-(2^k-1)}),$

az indukciós feltevés szerint

$T_{1}T_{2}T_{4}\ldots T_{2^{k-1}}T_{2^k}= (T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k}-3}+T_{2^{k}-1})(t^{2^k}+{t^{-2^k}})=$

$=t^{-2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})+ t^{2^k}(t^{-(2^k-1)}+t^{-(2^k-3)}+\ldots+t^{2^k-1})=$

$=(t^{-(2^{k+1}-1)}+t^{-(2^{k+1}-3)}+\ldots+t^{-1})+ (t^{1}+t^{3}+\ldots+t^{2^{k+1}-1})=$

$=T_{1}+T_{3}+T_{5}+\ldots +T_{2^{k+1}-3}+T_{2^{k+1}-1},$

ami az állítást k helyett k+1 esetén is igazolja.

Statistics:

75 students sent a solution.

3 points: 64 students.

2 points: 8 students.

1 point: 3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2012

75 students sent a solution.
3 points:	64 students.
2 points:	8 students.
1 point:	3 students.

Already signed up?
New to KöMaL?