Problem B. 4467. (September 2012)
B. 4467. Solve the equation .
(5 pont)
Deadline expired on October 10, 2012.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Az egyenlet pontosan akkor értelmezhető, ha x0. Különböztessünk meg két esetet. Az x1 esetben az egyenlet alakba írható. Szükségképpen x2-2x=x(x-2)0, vagyis x2. Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens a négyzetreemelésével kapott x=x2(x-2)2 egyenlettel. Mivel x0, ezzel leoszthatunk. átrendezve az x3-4x2+4x-1=0 egyenletet kapjuk. Mivel x1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x2-3x+1 egyenletet kell megoldanunk. Ennek gyökei , ezek közül azonban csak az elégíti ki az x2 feltételt.
A másik esetben 0x<1, ekkor egyenletünk . Most szükséges, hogy x2-4x+2=(x-2)2-20 legyen. Az lehetőséget a 0x<1 feltétel kizárja, tehát most , vagyis . Ezen feltétel mellett az egyenlet ekvivalens az x=(x2-4x+2)2 egyenlettel. átrendezve az x4-8x3+20x2-17x+4=0 egyenletet kapjuk. Mivel x1, leoszthatunk (x-1)-gyel, tehát az x3-7x2+13x-4=0 egyenletet kell megoldanunk. Mivel x4, (x-4)-gyel is leoszthatunk, így az egyenlet az x2-3x+1=0 alakot ölti. Ennek gyökei közül azonban csak az elégíti ki a feltételt.
A feladatnak tehát két megoldása van: .
Statistics:
249 students sent a solution. 5 points: 154 students. 4 points: 21 students. 3 points: 26 students. 2 points: 22 students. 1 point: 11 students. 0 point: 15 students.
Problems in Mathematics of KöMaL, September 2012