Problem B. 4482. (November 2012)

B. 4482. In Elastica, only natural numbers less than ten thousand are known. These numbers are written down in a flexible way. The rule for Elastican numbers is as follows: each number is represented in the lowest possible base such that the resulting number have at most four digits. Unfortunately, the numbers represented in this way are not always possible to decode uniquely: For example, the four-digit Elastican number 1101 may mean 13 as well as 37. Is there a three-digit Elastican number that represents more than one natural number?

Based on the idea of T. Lakatos, Balassagyarmat

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2012.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Írjuk fel a számokat növekvő sorrendben.

Megoldás: Az első 15 számot 2-es számrendszerben fogják leírni. Ezek közül az első hét gumi-alakja rendre 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111. A 8 és 15 közé eső számok gumiszámként leírva már négyjegyűek leszek. A 15-nél nagyobb számok 2-es számrendszerben leírva már legalább 5-jegyűek, ezek leírásához tehát legalább 3-as alapú számrendszert kell használni. Világos tehát, hogy pontosan a 16 és 80 közé eső számokat fogják 3-as számrendszerben leírni. Ezek közül a 27-nél kisebbek gumi-alakja rendre 121, 122, 200, 201, 202, 210, 211, 212, 220, 221, 222, a többi pedig már 4-jegyű lesz.

Eddig 15 darab háromjegyű gumiszámot találtunk. Most megmutatjuk, hogy a 80-nál nagyobb számok gumi-alakja legalább 4-jegyű, amiből már látszik, hogy semelyik háromjegyű gumiszám nem jelölhet egyszerre két különböző természetes számot. Legyen n3. Ekkor n⁴>(n+1)³, hiszen 3⁴=80>64=4³, ha pedig n4, akkor az (n+1)³ szám n-es számrendszerbeli alakja 1331, vagyis ez a szám tényleg kisebb, mint n⁴, melynek n-es számrendszerbeli alakja 10000. Ez pedig azt jelenti, hogy az n⁴ és (n+1)⁴-1 közé eső számokat mind (n+1)-alapú számrendszerben fogják leírni, és azok gumi-alakja mind 4-jegyű lesz.

Statistics:

128 students sent a solution.
3 points:	Andó Angelika, Asztalos Bogdán, Badacsonyi István András, Baran Zsuzsanna, Barna István, Berezvai Orsolya, Berta Dénes, Bolla Martin, Csépai András, Czipó Bence, Fekete Panna, Forrás Bence, Gyarmati Richárd, Győrfi 946 Mónika, Gyulai-Nagy Szuzina, Hegyi Zoltán, Horváth János, Iványi Blanka, Jassó Gergely, Jávorszky Natasa, Kárpáti Zoltán, Kovács 101 Dávid Péter, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Bence Kristóf, Nagy Gergely, Nemes György, Németh 412 Virág, Páli Petra, Palkó Richárd, Qian Lívia, Somogyvári Kristóf, Szabó 157 Dániel, Szaksz Bence, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Talyigás Gergely, Tamás Kristóf, Telek Máté László, Tóth László Gábor, Varga 149 Imre Károly, Venczel Tünde, Weisz Ambrus, Wiandt Zsófia.
2 points:	34 students.
1 point:	29 students.
0 point:	17 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2012