Problem B. 4493. (December 2012)

B. 4493. Let (n,k) denote the greatest common divisor of the positive integers n and k, and let [n,k] denote their least common multiple. Show that, for all positive integers a, b, c, the greatest common divisor of the numbers [a,b], [b,c], [c,a] equals the least common multiple of the numbers (a,b), (b,c), (c,a).

(4 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Tekintsük a prímtényezős felbontásokat.

Megoldás: Legyenek $p_1,p_2,\ldots,p_t$ azok a prímszámok, melyek az a,b,c számok közül legalább egyet osztanak. Ekkor egyértelműen léteznek olyan $\alpha$ _i, $\beta$ _i, $\gamma$ _i (1 $\le$ i $\le$ t) nemnegatív egész számok, melyekkel $a=\prod_{i=1}^t p_i^{\alpha_i}$ , $b=\prod_{i=1}^t p_i^{\beta_i}$ , $c=\prod_{i=1}^t p_i^{\gamma_i}$ . Ezen prímtényezős felbontások szerint az [a,b], [b,c], [c,a] számok legnagyobb közös osztója $d=\prod_{i=1}^t p_i^{\delta_i}$ , az (a,b), (b,c), (c,a) számok legkisebb közös többszöröse pedig $m=\prod_{i=1}^t p_i^{\mu_i}$ alakú, ahol

$\delta$ _i=min {max { $\alpha$ _i, $\beta$ _i},max { $\beta$ _i, $\gamma$ _i},max { $\gamma$ _i, $\alpha$ _i}},

$\mu$ _i=max {min { $\alpha$ _i, $\beta$ _i},min { $\beta$ _i, $\gamma$ _i},min { $\gamma$ _i, $\alpha$ _i}}.

Elegendő belátni, hogy minden 1 $\le$ i $\le$ t esetén $\delta$ _i= $\mu$ _i. Rögzített i mellett szimmetria okokból feltehetjük, hogy $\alpha$ _i $\le$ $\beta$ _i $\le$ $\gamma$ _i. Ekkor pedig valóban

$\delta$ _i=min { $\beta$ _i, $\gamma$ _i, $\gamma$ _i}= $\beta$ _i=max { $\alpha$ _i, $\beta$ _i, $\alpha$ _i}= $\mu$ _i.

Statistics:

161 students sent a solution.

4 points: 116 students.

3 points: 16 students.

2 points: 11 students.

1 point: 11 students.

0 point: 7 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

161 students sent a solution.
4 points:	116 students.
3 points:	16 students.
2 points:	11 students.
1 point:	11 students.
0 point:	7 students.

Already signed up?
New to KöMaL?