Problem B. 4497. (December 2012)

B. 4497. The sequence (a_n) is defined as follows: a₁=a₂=1, a₃=2, $a_{n+3} =\frac{a_{n+2}a_{n+1}+n!}{a_n}$ (n $\ge$ 1). Prove that all terms of the sequence are integers.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Számítsuk ki a sorozat első néhány elemét és keressünk szabályosságot.

Megoldás: A sorozat következő két eleme a₄=3 és a₅=8. Először n szerinti teljes indukcióval belátjuk, hogy a_na_n+1=n!. Ez valóban így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n $\ge$ 4, akkor a rekurzió és az indukciós feltevés szerint

$a_na_{n+1}=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+(n-3)!}{a_{n-3}}\cdot \frac{a_{n}a_{n-1}+(n-2)!}{a_{n-2}}=$

$=\frac{\bigl( (n-2)!+(n-3)!\bigr)\cdot \bigl( (n-1)!+(n-2)!\bigr)}{(n-3)!}=$

$=\bigl( (n-2)+1\bigr)\cdot (n-2)!\cdot \bigl( (n-1)+1\bigr)=n!.$

Ezután pedig azt látjuk be n szerinti teljes indukcióval, hogy a_n olyan egész szám, amely osztója n!-nak. Ez ismét csak így van n=1,2,3 esetén. Ha pedig n $\ge$ 4, akkor

$a_n=\frac{a_{n-1}a_{n-2}+(n-3)!}{a_{n-3}}= \frac{(n-2)!+(n-3)!}{a_{n-3}}=\frac{(n-1)\cdot(n-3)!}{a_{n-3}},$

ami az $a_{n-3}\mid (n-3)!$ indukciós feltevés miatt valóban egész szám, $(n-1)\cdot(n-3)!\mid n!$ miatt pedig valóban osztója n!-nak.

Statistics:

90 students sent a solution.

5 points: 56 students.

4 points: 8 students.

3 points: 7 students.

2 points: 3 students.

0 point: 14 students.

Unfair, not evaluated: 2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

90 students sent a solution.
5 points:	56 students.
4 points:	8 students.
3 points:	7 students.
2 points:	3 students.
0 point:	14 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?