Problem B. 4501. (December 2012)

B. 4501. The height of a regular tetrahedron is 18 units. The tetrahedron is reflected in the midpoint of one of its altitudes. Find the volume and surface area of the common part of the two solids.

(5 pont)

Deadline expired on January 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Útmutatás: Vegyünk egy alkalmas síkmetszetet.

Megoldás: A két test közös része 8 féltér metszete, melyet a tetraéder és tükörképének lapsíkjai határolnak. Ezek közül az alaplap és annak tükörképe elhagyható, hiszen azokra csak egy csúcs illeszkedik. A szóban forgó testet tehát 3 párhuzamos lappár határolja, vagyis egy paralelepipedonról van szó. Ennek egyik csúcsa az eredeti tetraéder adott magasságának végpontja, melyből szimmetria okok miatt 3 egyforma hosszúságú él indul ki, vagyis a paralelepipedon minden éle egyenlő hosszú. Az is könnyen látható, hogy az előbb említett 3 él egy 6 egység magasságú T szabályos tetraédert határoz meg. Ennek élhosszát jelölje a, térfogatát V, oldallapjának területét A.

Felhasználva, hogy a magasság talppontja az alaplap súlypontja, a Pithagorasz-tétel kétszeri alkalmazásával könnyen kiszámolható, hogy a T tetraéder m magassága $\sqrt{2}a/\sqrt{3}$ , ahonnan m=6 miatt $a=3\sqrt{6}$ adódik. Innen $A=\sqrt{3}a^2/4=27\sqrt{3}/2$ . A paralelepipedon felszíne ennek 12-szerese, vagyis $162\sqrt{3}$ , térfogata pedig $6V=2Am=162\sqrt{3}$ .

Statistics:

79 students sent a solution.

5 points: Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Baumgartner Róbert, Bingler Arnold, Bognár Máté, Böszörményi Borbála, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Makk László, Mándoki Sára, Medek Ákos, Németh Gergely, Pap Tibor, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Tardos Jakab, Telek Máté László, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde.

4 points: Di Giovanni Márk, Herczeg József, Kabos Eszter, Lelkes János, Maga Balázs, Petrényi Márk, Qian Lívia, Szabó 789 Barnabás.

3 points: 5 students.

2 points: 5 students.

1 point: 5 students.

0 point: 26 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2012

79 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Balogh Tamás, Barna István, Baumgartner Róbert, Bingler Arnold, Bognár Máté, Böszörményi Borbála, Fehér Zsombor, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Havasi 0 Márton, Homonnay Bálint, Janzer Olivér, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kúsz Ágnes, Leipold Péter, Makk László, Mándoki Sára, Medek Ákos, Németh Gergely, Pap Tibor, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Somogyvári Kristóf, Tardos Jakab, Telek Máté László, Tossenberger Tamás, Tóth László Gábor, Venczel Tünde.
4 points:	Di Giovanni Márk, Herczeg József, Kabos Eszter, Lelkes János, Maga Balázs, Petrényi Márk, Qian Lívia, Szabó 789 Barnabás.
3 points:	5 students.
2 points:	5 students.
1 point:	5 students.
0 point:	26 students.

Already signed up?
New to KöMaL?