Problem B. 4516. (February 2013)

B. 4516. In a triangle ABC, tan =2, tan =1, and b=12. The midpoints of the sides opposite to A and B are F_a and F_b, and the feet of the corresponding altitudes are T_a and T_b, respectively. Prove that the centroid and the orthocentre of triangle ABC are collinear with the intersection of T_aF_b and F_aT_b.

(4 pont)

Deadline expired on March 11, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Alkalmazzuk a Papposz-tételt vagy használjunk koordinátákat.

1. megoldás. Legyen a súlypont S, a magasságpont M, a T_aF_b és F_aT_b egyenesek metszéspontja X. Az A, F_A, T_A pontok az AC egyenesen, a B, F_b, T_b pontok pedig a BC egyesen vannak. A Papposz-tételt a az (A,F_A,T_A) és (B,F_b,T_b) ponthármasokra alkalmazva kapjuk, hogy AF_bBF_a=S, AT_bBT_a=M és F_aT_bF_bT_a=X egy egyenesre esik.

2. megoldás (vázlat). Helyezzük el az ábrát a derékszögű koordináta-rendszerben úgy, hogy T_b legyen az origó, és legyen az x-tengely pozitív iránya.

Könnyű ellenőrizni, hogy T_b=(0,0), A=(8,0), C=(-4,0), B=(0,8), F_b=(2,0), F_a=(-2,4), . A magasságpont ordinátáját a A-ból induló magasság egyenletéből, vagy a T_bM^.T_bB=T_bA^.T_bC azonosságből is kiszámíthatjuk: M=(0;4).

A BC és AM egyenesek egyenlete 2x-y=-8, illetve x+2y=8, metszéspontjuk .

Az T_aF_b és F_aT_b egyenesek egyenlete 4x+3y=8, illetve 2x+y=0; a metszéspontjuk X=(-4;8).

Az és vektorok párhuzamosak, mert . Tehát S, M és X egy egyenesen van.

Statistics:

103 students sent a solution.
4 points:	90 students.
3 points:	8 students.
1 point:	2 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, February 2013