Problem B. 4522. (March 2013)
B. 4522. Find all integers n such that |2n3-6n2+4n+3| is a prime.
(3 pont)
Deadline expired on April 10, 2013.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldási ötlet: Vizsgáljuk a 3-as maradékot.
Megoldás. Vegyük észre, hogy 2n3-6n2+4n+3=2n(n-1)(n-2)+3 mindig osztható 3-mal, mert n-2, n-1 és n három szomszédos egész szám. Ezért |2n3-6n2+4n+3| csak úgy lehet prímszám, ha értéke pontosan 3.
Ha n=0, n=1 vagy n=2, akkor 2n(n-1)(n-2)+3=3. Ezek tehát megoldások.
Ha n3, akkor 2n(n-1)(n-2)+3>3, ha pedig n-1, akkor n(n-1)(n-2)=-|n|.|n-1|.|n-2|<-6, így 2n(n-1)(n-2)+32.(-6)+3<-3. Az ilyen n értékekre tehát |2n3-6n2+4n+3|>3, ezek nem megoldások.
Összefoglalva, |2n3-6n2+4n+3| akkor prímszám, ha n=0, n=1 vagy n=2.
Statistics:
152 students sent a solution. 3 points: 111 students. 2 points: 32 students. 1 point: 8 students. 0 point: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013