Problem B. 4524. (March 2013)

B. 4524. f is a function defined on the set of natural numbers such that f(1)+2²f(2)+3²f(3)+...+n²f(n)=n³f(n) for all positive integers n. Given that f(1)=2013, find the value of f(2013).

Competition problem from Transsylvania

(4 pont)

Deadline expired on April 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Írjuk fel a feltételt két szomszédos értékre.

Megoldás. A feltételt n-re és n+1-re is felírva, majd ezeket kivonva egymásból,

f(1)+2²f(2)+3²f(3)+...+n²f(n)=n³f(n)

f(1)+2²f(2)+3²f(3)+...+n²f(n)+(n+1)²f(n+1)=(n+1)³f(n+1)

(n+1)²f(n+1)=(n+1)³f(n+1)-n³f(n)

Ezt átrendezve,

n²f(n)=(n+1)²f(n+1).

Ebből n szerinti indukcióval láthatjuk, hogy n²f(n) konstans, avagy $f(n)=\frac{c}{n^2}$ egy alkalmas c számal. Az f(1)=2013 feltételből kapjuk, hogy c=2013, vagyis

$f(n) = \frac{2013}{n^2}.$

(1)

(*) Ez a függvény valóban teljesíti a feltételeket: f(1)=2013, és

$f(1)+2^2f(2)+3^2f(3)+\dots + n^2f(n) = n\cdot 2013 = n^3\cdot\frac{2013}{n^2} = n^3f(n).$

Végül az (1) képletbe behelyettesítve n=2013-at,

$f(2013)=\frac1{2013}.$

Megjegyzés. A (*) lépés nélkül a megoldás nem lenne teljes. Előfordulhatna ugyanis, hogy a feltételt semmilyen függvény nem teljesíti.

Ha például a feladatot úgy módosítjuk, hogy a feltételt az f(1)+2²f(2)+...+n²f(n)=n³f(n)+1 összefüggésre cseréljük, akkor ez n=1-re az f(1)=f(1)+1 ellentmondást adja. Ennek ellenére a megoldás többi lépései ugyanígy elmondhatóak, és az $f(2013)=\frac1{2013}$ következtetésre vezetnek, de ez a válasz hibás.

Statistics:

137 students sent a solution.

4 points: 85 students.

3 points: 28 students.

2 points: 6 students.

1 point: 1 student.

0 point: 14 students.

Unfair, not evaluated: 3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2013

137 students sent a solution.
4 points:	85 students.
3 points:	28 students.
2 points:	6 students.
1 point:	1 student.
0 point:	14 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Already signed up?
New to KöMaL?