Problem B. 4535. (April 2013)

B. 4535. Solve the equation (x²-x-1)²-x³=5.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldási ötlet: Rendezzük át az egyenletet. 5=2²+1³.

Megoldás.

(x²-x-1)²-2²=x³+1³

((x²-x-1)+2)((x²-x-1)-2)=(x+1)(x²-x+1)

(x²-x+1)(x²-x-3)=(x+1)(x²-x+1)

(x²-x+1)((x²-x-3)-(x+1))=0

(x²-x+1)(x²-2x-4))=0.

Az első tényezőnek nincsenek valós gyökei, mert . A második tényező,

x²-2x-4=(x-1)²-5

gyökei és . Az átalakításaink megfordíthatóak, ezért ezek valóban megoldások.

Az egyenletnek tehát két valós megoldása van: és .

Statistics:

108 students sent a solution.
5 points:	Balogh Tamás, Baran Zsuzsanna, Berezvai Orsolya, Bingler Arnold, Bogár Blanka, Bősze Zsuzsanna, Csépai András, Emri Tamás, Fonyó Viktória, Győrfi 946 Mónika, Gyulai-Nagy Szuzina, Herczeg József, Janzer Barnabás, Janzer Olivér, Kabos Eszter, Kátay Tamás, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kulcsár Ildikó, Kúsz Ágnes, Maga Balázs, Márton Boldizsár, Nagy-György Pál, Páli Petra, Paulovics Zoltán, Qian Lívia, Sagmeister Ádám, Seress Dániel, Simkó Irén, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tekeli Miklós, Tossenberger Tamás, Tóth 095 Zsombor, Wiandt Péter, Wiandt Zsófia, Williams Kada, Zilahi Tamás.
4 points:	62 students.
3 points:	5 students.
0 point:	3 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2013