Problem B. 4579. (November 2013)

B. 4579. Represent those pairs (a;b) of real numbers in the rectangular coordinate plane for which the polynomial x(x+4)+a(y²-1)+2by of two variables can be expressed as a product of two first-degree polynomials.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a polinom szorzattá alakítható:

x(x+4)+a(y²-1)+2by=(Ax+By+C)(Dx+Ey+F),

ahol A,B,C,D,E,F alkalmas valós számok. Az x² együtthatója 1, ezért AD=1. Az első tényezőt A-val osztva, a második tényezőt D-vel osztva elérhetjük, hogy az x monom együtthatója mindkét tényezőben 1 legyen, azaz elég az olyan szorzatokat keresni, amikor A=D=1.

A szorzatot könnyen átalakíthatjuk két négyzet különbségévé a következőképpen:

$x(x+4) + a\big(y^2-1\big) + 2by = (x+By+C)(x+Ey+F) = \left( x+\frac{B+E}2y+\frac{C+F}2\right)^2 - \left(\frac{B-E}y+\frac{C-F}2\right)^2;$

bevezetve az $P=\frac{B+E}2$ , $Q=\frac{C+F}2$ , $R=\frac{B-E}2$ , $S=\frac{C-F}2$ számokat,

x²+4x+ay²+2by-a=(x+Py+Q)²-(Ry+S)².

Az egyes monomok együtthatóinak meg kell egyezniük a két oldalon. Mivel balolalon nincs xy, P=0; az x monom együtthatója pedig 4=2Q, vagyis csak Q=2 lehet:

x²+4x+ay²+2by-a=(x+2)²-(Ry+S)²

(Ry+S)²=-ay²-2by+(a+4).

Olyan a,b számokat kell keresnünk tehát, amikor a -ay²-2by+(a+4) polinom teljes négyzet.

1. eset: a=0. Ekkor az y² együtthatója 0, vagyis R=0, és a négyzetben nem szerepelhet y, vagyis b=0. Tehát -ay²-2by+(a+4)=2², ami teljes négyzet.

2. eset: a $\ne$ 0. A polinom másodfokú, ezért akkor és csak akkor teljes négyzet, ha fő együtthatója pozitív (azaz a<0), és a diszkriminánsa nulla:

b²+a(a+4)=0

(a+2)²+b²=4.

Ez a (-2,0) középpontú, 2 sugarú kör egyenlete. A (0,0) pont kivételével az a<0 feltétel is teljesül. Ugyanakkor a (0,0) pont is megoldása a feladatnak az 1. esetben.

Megjegyzés. A polinomot mátrix alakba írhatjuk a következőképpen: $x(x+4) + a\big(y^2-1\big) + 2by = (x,y,1) M \left(\matrix{x\cr y\cr 1}\right)$ , ahol $M= \left(\matrix{ 1 & 0 & 2 \cr 0 & a & b \cr 2 & b & -a \cr}\right)$ . Ismeretes, hogy a polinom akkor és csak akkor alakítható szorzattá a komplex számok körében, ha det M=0. A tényezőkben szereplő együtthatók akkor valósak, ha az is teljesül, hogy a bal felső 2×2-es részmátrix determinánsa nempozitív.

Statistics:

48 students sent a solution.

5 points: Baran Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Kovács Balázs Marcell, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nemes György, Simkó Irén, Vágó Ákos, Varga 123 Péter, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.

4 points: Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Cseh Kristóf, Egyházi Anna, Fekete Panna, Forrás Bence, Gáspár Attila, Kúsz Ágnes, Páli Petra, Schrettner Bálint, Szabó 524 Tímea, Varga Rudolf.

3 points: 3 students.

2 points: 5 students.

1 point: 3 students.

0 point: 4 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

48 students sent a solution.
5 points:	Baran Zsuzsanna, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fonyó Viktória, Katona Dániel, Kocsis Júlia, Kovács Balázs Marcell, Lajkó Kálmán, Leipold Péter, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Nagy-György Pál, Nemes György, Simkó Irén, Vágó Ákos, Varga 123 Péter, Vető Bálint, Viharos Loránd Ottó, Williams Kada.
4 points:	Balogh Tamás, Bereczki Zoltán, Bősze Zsófia, Cseh Kristóf, Egyházi Anna, Fekete Panna, Forrás Bence, Gáspár Attila, Kúsz Ágnes, Páli Petra, Schrettner Bálint, Szabó 524 Tímea, Varga Rudolf.
3 points:	3 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	4 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?