Problem B. 4580. (November 2013)

B. 4580. The sides of a triangle form a geometric progression, and its angles form an arithmetic progression. Prove that the triangle is equilateral.

(3 pont)

Deadline expired on December 10, 2013.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek a háromszög oldalalai a $\le$ b $\le$ c, a szemközti szögek $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ . Mivel az oldalak és a velük szemközti szögek rendezése azonos (nagyobb oldallal szemben nagyobb szög fekszik), $\alpha$ $\le$ $\beta$ $\le$ $\gamma$ .

A szögek akkor alkotnak számtani sorozatot, ha 2 $\beta$ = $\alpha$ + $\gamma$ , azaz

3 $\beta$ = $\alpha$ + $\beta$ + $\gamma$ =180^o

$\beta$ =60^o.

A koszinusztételt felírva a b oldalra,

b²=a²+c²-2accos 60^o=a²+c²-ac.

(1)

A b oldal az oldalak között a középső, azaz b a másik két oldal mértani közepe:

b²=ac.

(2)

Az (1) és (2) egybevetéséből

a²+c²-ac=ac

(a-c)²=0

a=c.

Tehát, a háromszög legkisebb és legnagyobb oldala ugyanolyan hosszú, a háromszög szabályos.

Statistics:

179 students sent a solution.

3 points: 144 students.

2 points: 12 students.

1 point: 11 students.

0 point: 11 students.

Unfair, not evaluated: 1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2013

179 students sent a solution.
3 points:	144 students.
2 points:	12 students.
1 point:	11 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Already signed up?
New to KöMaL?