Problem B. 4582. (December 2013)

B. 4582. Let d(n) denote the number of positive factors of the positive integer n. Determine those numbers n for which d(n³)=5^.d(n).

Suggested by M. Di Giovanni, Győr

(3 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az n=1 nem megoldása az egyenletnek, ezért n $\ge$ 2. Legyen n prímténytezős felbontása n=p₁^a₁^....^.p_k^a_k, ahol k $\ge$ 1, p₁,...,p_k különböző prímszámok, és a₁,...,a_k pozitív egészek. Ekkor $d(n) = \prod_{i=1}^k (a_i+1)$ és $d(n^3) = \prod_{i=1}^k (3a_i+1)$ , az egyenletünk pedig a következő alakba írható:

$5 = \prod_{i=1}^k \frac{3a_i+1}{a_i+1}.$

A jobboldalon minden tényező 2 és 3 közé esik, ugyanis $\frac{3a_i+1}{a_i+1} < \frac{3a_i+3}{a_i+1} =3$ és $\frac{3a_i+1}{a_i+1} \ge \frac{(2a_i+1)+1 }{a_i+1} =2$ . Egyetlen tényező esetén a szorzat kisebb, mint 3; legalább három tényező esetén pedig a szorzat értéke legalább 8. Ezért a tényezők száma csak 2 lehet: k=2.

Vezessünk be új jelöléseket: legyen p=p₁, q=p₂, a=a₁ és b=a₂. Az új egyenlet:

(3a+1)(3b+1)=5(a+1)(b+1)

(2a-1)(2b-1)=5.

Az 5 csak egyféleképpen bontható pozitív egészek szorzatává; azt kapjuk, hogy a és b közül az egyik 1, a másik 3. A szimmetria miatt feltehetjük, hogy a=3 és b=1. Tehát

n=p³^.q,

ahol p és q különböző prímek.

Az ilyen alakú számok valóban megoldások, mert d(n)=d(p³q)=4^.2=8 és d(n³)=f(p⁹q³)=10^.4=40.

Statistics:

158 students sent a solution.

3 points: 106 students.

2 points: 21 students.

1 point: 22 students.

0 point: 9 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

158 students sent a solution.
3 points:	106 students.
2 points:	21 students.
1 point:	22 students.
0 point:	9 students.

Already signed up?
New to KöMaL?