Problem B. 4591. (December 2013)

B. 4591. Let $\alpha$ be an irrational number. For every positive integer q, let $N_q(\alpha)=\min \left\{{\left|\alpha-\frac pq\right|} \colon {p \in \mathbb{Z}}\right\}$ , that is, the distance from the closest fraction that can be represented with a denominator of q (not necessarily cancelled to lowest terms). Show that there exists a k such that $\sum\limits_{q=1}^{k} N_q(\alpha)>1$ .

Suggested by P. Maga, Budapest

(6 pont)

Deadline expired on January 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. A megoldás folyamán $\| x\|$ -szel fogjuk jelölni az x távolságát a legközelebbi egész számtól. Ekkor tehát $0\le\| x\| \le\frac12$ . Könnyen ellenőrizhető, hogy tetszőleges x,y számokra és q pozitív egészre teljesülnek a következők:

$\big\| |x|\big\| =\| x\| ; \qquad \| x\| +\| y\| \ge \| x+y\| \ge \big|\| x\| -\| y\| \big|; \qquad N_q(x) = \frac{\| qx\| }{q}.$

A feladat állítása a következő lemmából fog következni:

Lemma. Bármely q pozitív egészre

$N_q(\alpha)+N_{q+1}(\alpha) \ge \frac{\| \alpha\| }{q+1}.$

Bizonyítás.

$N_q(\alpha)+N_{q+1}(\alpha) = \frac{\big\| q\alpha\big\| }{q} + \frac{\big\| (q+1)\alpha\big\| }{q+1} \ge \frac{\big\| q\alpha\big\| +\big\| (q+1)\alpha\big\| }{q+1} \ge \frac{\Big|\big\| q\alpha\big\| -\big\| (q+1)\alpha\big\| \Big|}{q+1} = \frac{\| a\| }{q+1}.$

A Lemma alapján, k=2n esetén

$\sum_{q=1}^{k} N_q(\alpha) = \sum_{r=1}^{n} \big(N_{2r-1}(\alpha)+N_{2r}(\alpha)\big) \ge \sum_{r=1}^{n} \frac{\| \alpha\| }{2r} = \frac{\| \alpha\| }{2} \sum_{r=1}^{n} \frac1r.$

Megjegyezzük, hogy $\alpha$ nem egész szám, így $\| \alpha\| >0$ . Ismert, hogy a $\sum_{r=1}^{n} \frac1r$ harmonikus összeg nem korlátos, így van olyan n, mire $\sum_{r=1}^{n} \frac1r > \frac{2}{\| \alpha\| }$ . Erre az n-re és k=2n-re

$\sum_{q=1}^{k} N_q(\alpha)\ge \frac{\| \alpha\| }{2} \sum_{r=1}^{n} \frac1r > \frac{\| \alpha\| }{2} \cdot \frac{2}{\| \alpha\| } =1.$

Megjegyzés. A fenti megoldás minden olyan $\alpha$ -ra működik, ami nem egész.

Statistics:

8 students sent a solution.

6 points: Ágoston Péter, Fekete Panna, Maga Balázs, Williams Kada.

5 points: Kúsz Ágnes, Mócsy Miklós.

4 points: 1 student.

0 point: 1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, December 2013

8 students sent a solution.
6 points:	Ágoston Péter, Fekete Panna, Maga Balázs, Williams Kada.
5 points:	Kúsz Ágnes, Mócsy Miklós.
4 points:	1 student.
0 point:	1 student.

Already signed up?
New to KöMaL?