Problem B. 4614. (March 2014)

B. 4614. Let x₁,...,x_n and y₁,...,y_n be nondecreasing sequences of non-negative numbers, such that the sum of the n terms is 1. a) What is the maximum possible value of $\min_{1\le i\le n} |x_i-y_i|$ ? b) What is the maximum possible value of $\sum_{i=1}^n{|x_i-y_i|}$ ?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. a) Ha $\displaystyle n=1$, akkor $\displaystyle x_1=y_1=1$, és így a feladatban kérdezett minimum értéke 0. A továbbiakban feltesszük, hogy $\displaystyle n\geq 2$ és belátjuk, hogy a kérdezett minimum értéke $\displaystyle \frac{1}{n}$.

Először is, $\displaystyle \frac{1}{n}$ elérhető, például ha $\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{1}{n}$ és $\displaystyle y_1=\dots=y_{n-1}=0$ és $\displaystyle y_n=1$. (Ilyenkor $\displaystyle |x_n-y_n|=\frac{n-1}{n}\geq\frac{1}{n}$ és minden $\displaystyle 1\leq i<n$ egészre $\displaystyle |x_i-y_i|=\frac{1}{n}$.) Másrészt $\displaystyle \frac{1}{n}$-nél nagyobb érték nem érhető el, mivel $\displaystyle 0\leq x_1,y_1\le\frac{1}{n}$ nyilvánvalóan teljesül. (Hiszen az $\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n$ számok közül a legkisebb nem lehet nagyobb az átlaguknál, így $\displaystyle x_1\leq \frac{1}{n}$, és ehhez teljesen hasonlóan $\displaystyle y_1\leq \frac{1}{n}$.) Így $\displaystyle n=1$ esetén a válasz 0, $\displaystyle n\geq 2$ esetén pedig $\displaystyle \frac{1}{n}$.

b) Minden $\displaystyle 1\leq i\leq n$ esetén teljesül, hogy $\displaystyle |x_i-y_i|=\max(x_i,y_i)-\min(x_i,y_i)=x_i+y_i-2\min(x_i,y_i)$. Továbbá $\displaystyle \min(x_n,y_n)$ értéke legalább $\displaystyle \frac{1}{n}$, és így

$\displaystyle \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|\leq \sum_{i=1}^n \left(x_i+y_i-2\min(x_i,y_i)\right)\leq \left(\sum_{i=1}^n (x_i+y_i)\right) -2\min(x_n,y_n)\leq 2-\frac{2}{n},$

azaz a keresett maximum legfeljebb $\displaystyle 2-\frac{2}{n}$ lehet. Ez azonban elő is fordulhat, hiszen az a) részben megadott $\displaystyle x_1=x_2=\dots=x_n=\frac{1}{n}$ és $\displaystyle y_1=\dots=y_{n-1}$, $\displaystyle y_n=1$ sorozatokra a keresett érték éppen $\displaystyle 2-\frac{2}{n}$. Tehát a keresett maximum értéke $\displaystyle 2-\frac{2}{n}$.

Statistics:

49 students sent a solution.

5 points: Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Williams Kada, Zarándy Álmos.

4 points: Mócsy Miklós, Nagy Simon József, Sal Kristóf, Szőke Tamás.

3 points: 10 students.

2 points: 4 students.

1 point: 1 student.

0 point: 2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014

49 students sent a solution.
5 points:	Ágoston Péter, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Katona Dániel, Kovács 972 Márton, Kúsz Ágnes, Lajkó Kálmán, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Molnár-Sáska Zoltán, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szász Dániel Soma, Szebellédi Márton, Williams Kada, Zarándy Álmos.
4 points:	Mócsy Miklós, Nagy Simon József, Sal Kristóf, Szőke Tamás.
3 points:	10 students.
2 points:	4 students.
1 point:	1 student.
0 point:	2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?