Problem B. 4618. (March 2014)

B. 4618. The polygon has both an inscribed circle and a circumscribed circle. The centre of the inscribed circle is O, and the centre of the circle OA_iA_i+1 is C_i (, and A_n+1=A₁). Prove that C₁,C₂,...,C_n are concyclic.

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen a sokszög köré írt körének középpontja \(\displaystyle K\).

A \(\displaystyle C_{i}\) pont rajta van az \(\displaystyle A_{i}A_{i+1}\), \(\displaystyle OA_{i}\) és \(\displaystyle OA_{i+1}\) felező merőlegesén. Ezek talppontjai sorban \(\displaystyle F_{i}\), \(\displaystyle S_{i}\), \(\displaystyle S_{i+1}\). Az \(\displaystyle OA_{i}\) szögfelező, ezért

\(\displaystyle \alpha_{i}=OA_{i}A_{i-1}\sphericalangle =OA_{i}A_{i+1}\sphericalangle. \)

A \(\displaystyle KF_{i-1}A_{i}F_{i}\) négyszögben a belső szögek összege

\(\displaystyle 360^{\circ}=2 \alpha_{i}+2\cdot 90^{\circ}+F_{i-1}KF_{i}\sphericalangle, \)

vagyis

\(\displaystyle F_{i-1}KF_{i}\sphericalangle=180^{\circ}-2 \alpha_{i}. \)

Jelöljük \(\displaystyle OA_{i}\) és \(\displaystyle F_{i}K\) metszéspontját \(\displaystyle M\)-mel. Az \(\displaystyle A_{i}MF_{i}\) és \(\displaystyle C_{i}MS_{i}\) derékszögű háromszögek hasonlók, mert \(\displaystyle M\)-nél fekvő hegyesszögük közös. Emiatt \(\displaystyle MC_{i}S_{i}\sphericalangle = KC_{i}S_{i}\sphericalangle=\alpha_{i}\). Az eddigiek alapján a \(\displaystyle KC_{i-1}C_{i}\) háromszögben \(\displaystyle KC_{i}C_{i-1}\sphericalangle=\alpha_{i}\), \(\displaystyle C_{i}KC_{i-1}\sphericalangle=180^{\circ}-2 \alpha_{i}\), így \(\displaystyle KC_{i-1}C_{i}\sphericalangle=\alpha_{i}\). Beláttuk, hogy a \(\displaystyle KC_{i-1}C_{i}\) háromszög egyenlő szárú, \(\displaystyle KC_{i-1}=KC_{i}\). Ez bármely két szomszédos kör középpontjaira teljesül, tehát a \(\displaystyle C_{i}\) pontok mind egy \(\displaystyle K\) körüli körön helyezkednek el.

Szegi Bogát (Szeged, Radnóti Miklós Kís. Gimn., 9. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

29 students sent a solution.
5 points:	Andó Angelika, Cseh Kristóf, Di Giovanni Márk, Dinev Georgi, Fekete Panna, Forrás Bence, Gáspár Attila, Győrfi-Bátori András, Gyulai-Nagy Szuzina, Kovács 972 Márton, Lajkó Kálmán, Machó Bónis, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy-György Pál, Schwarcz Tamás, Simkó Irén, Szakács Lili Kata, Williams Kada.
4 points:	Bereczki Zoltán, Csépai András, Geng Máté, Katona Dániel, Sándor Krisztián, Schrettner Bálint, Szebellédi Márton, Szegi Bogát, Szőke Tamás.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2014