Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4622. (April 2014)

B. 4622. The numbers \(\displaystyle 1,2,\ldots,9\) are written in the fields of a \(\displaystyle 3\times 3\) table so that the sum of the numbers is the same in each of the four \(\displaystyle 2\times 2\) squares. What may this sum be?

(5 pont)

Deadline expired on May 12, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Tegyük fel, hogy a \(\displaystyle 3\times3\)-as táblázat mezőit úgy töltöttük ki az \(\displaystyle 1,2,\dots,9\) számokkal, hogy minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle T\) legyen az összeg. Ha az összes szám helyett 5-tel kisebbet írunk, akkor a táblázat mezőiben a \(\displaystyle -4,-3,\dots,4\) számok fognak szerepelni, és minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle S=T-20\) lesz az összeg. Megfordítva, ha a \(\displaystyle -4,-3,\dots,4\) számokat úgy írjuk be, hogy minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle S\) az összeg, akkor minden szám helyett 5-tel nagyobbat írva minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül \(\displaystyle T=S+20\) lesz az összeg. Határozzuk meg most \(\displaystyle S\) lehetséges értékeit. Ha összeadjuk a \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeteken belüli összegeket, akkor a sarokmezőkbe írt számokat egyszer számoljuk, a középső mezőt (az ide írt szám legyen \(\displaystyle a\)) négyszer, a fennmaradó négy mezőbe írt számokat (legyenek ezek \(\displaystyle b,c,d,e\)) pedig kétszer. Mivel az összes szám összege 0, ezért \(\displaystyle 4S=3a+b+c+d+e\leq 3\cdot 4+3+2+1+0=18\), és így \(\displaystyle S\leq 4\). Mivel minden számot az ellentettjére cserélve egy olyan kitöltést kapunk, ahol minden \(\displaystyle 2\times2\)-es négyzeten belül ellentettjére változik a közös összeg, ezért ebből egyrészt \(\displaystyle -4\leq S\leq 4\) következik, másrészt ahhoz, hogy minden \(\displaystyle [-4,4]\)-beli egész számot meg is kaphatunk elég ezt \(\displaystyle S=0,1,2,3,4\) esetén igazolnunk. Ez az 5 érték valóban lehetséges, amint azt a következő kitöltések mutatják:

\(\displaystyle S=0\) -4 1 2 \(\displaystyle S=1\) -1 4 -3 \(\displaystyle S=2\) 0 1 2 \(\displaystyle S=3\) 1 2 -2 \(\displaystyle S=4\) 0 -2 -1
4 -1 -2 -4 2 -2 -2 3 -4 -4 4 -1 2 4 3
-3 0 3 3 0 1 -3 4 -1 0 3 -3 -3 1 -4

Tehát \(\displaystyle S\) értéke \(\displaystyle [-4,4]\)-beli egész szám lehet, vagyis a kérdéses összeg értéke \(\displaystyle 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24\) lehet.

Statistics:

94 students sent a solution.
5 points:53 students.
4 points:11 students.
3 points:6 students.
2 points:8 students.
1 point:8 students.
0 point:8 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2014