Problem B. 4636. (May 2014)

B. 4636. At which point in the interior of a triangle is the product of the distances from the sides a maximum?

Suggested by T. Kósa, Budapest

(4 pont)

Deadline expired on June 10, 2014.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyenek ennek a pontnak a háromszög \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\), \(\displaystyle AB\) oldalaitól mért távolságai rendre \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\), a háromszög oldalai pedig \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\). A \(\displaystyle BPC\), \(\displaystyle CPA\), \(\displaystyle APB\) háromszögek területének összege adja az egész háromszög területét, így:

\(\displaystyle ax+by+cz=2T, \)

ahol \(\displaystyle T\) a teljes háromszög területe. A számtani és mértani közepek közti egyenlőtlenséget felírva \(\displaystyle ax\)-re, \(\displaystyle by\)-ra és \(\displaystyle cz\)-re:

\(\displaystyle \frac{2T}{3}=\frac{ax+by+cz}{3} \ge \sqrt[\scriptstyle 3]{ax\cdot by \cdot cz}=\sqrt[\scriptstyle 3]{abc \cdot xyz}, \)

\(\displaystyle \left(\frac{2T}{3\sqrt[\scriptstyle 3]{abc}}\right)^{\!\!3} = xyz. \)

A bal oldal konstans, hiszen \(\displaystyle T\), \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) mind állandók egy adott háromszög esetén, a jobb oldalon pedig a vizsgált szorzat áll. Így az akkor lesz a legnagyobb, ha a számtani-mértani középnél egyenlőség áll fenn. Ez pontosan akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{ax}{2}=\frac{by}{2}=\frac{cz}{2}=\frac{T}{3}, \)

vagyis a kis háromszögek területei megegyeznek, és ez a nagy háromszög területének harmada.

Először belátjuk, hogy csak egy olyan pont létezhet a háromszög belsejében, amelyre ez igaz. Ugyanis például \(\displaystyle \frac{ax}{2}=\frac{T}{3}\) miatt a pontnak rajta kell lennie az \(\displaystyle a\)-val párhuzamos, attól \(\displaystyle \frac{m_{a}}{3}\) távolságra haladó egyenesen, és hasonlóan igaz ez a többi oldalra is. Viszont mivel az eredeti oldalak közül semelyik kettő nem párhuzamos, így a velük párhuzamos egyenesek közt se lesz két párhuzamos, tehát legfeljebb egy metszéspontjuk lehet. A háromszög súlyvonalairól tudjuk, hogy a háromszög területét hat egyenlő részre osztják, illetve a súlypontot a csúcsokkal összekötve három egyenlő területű háromszöget kapunk.

Tehát a súlypontra lesz maximális az oldalaktól mért távolságok szorzata.

Szőke Tamás (Miskolc, Földes Ferenc Gimnázium, 11. évf.) dolgozata alapján

Statistics:

56 students sent a solution.
4 points:	Ágoston Péter, Andi Gabriel Brojbeanu, Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Bereczki Zoltán, Bodolai Előd, Cseh Kristóf, Csépai András, Csernák Tamás, Di Giovanni Márk, Fekete Panna, Fonyó Viktória, Forrás Bence, Geng Máté, Hansel Soma, Heinc Emília, Khayouti Sára, Kocsis Júlia, Kovács 972 Márton, Lajkó Kálmán, Le Cuong Phong, Leitereg Miklós, Maga Balázs, Mócsy Miklós, Nagy Gergely, Öreg Botond, Páli Petra, Porupsánszki István, Schefler Barna, Schrettner Bálint, Schwarcz Tamás, Seress Dániel, Simkó Irén, Szebellédi Márton, Szőke Tamás, Tóth Viktor, Török Tímea, Vágó Ákos, Várkonyi Dorka, Williams Kada.
3 points:	Balogh Menyhért, Horeftos Leon, Kúsz Ágnes, Nagy Kartal, Nagy-György Pál, Sal Kristóf.
1 point:	6 students.
0 point:	4 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2014