Problem B. 4840. (January 2017)

B. 4840. Show that every integer can be represented in the form \(\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}\) with appropriate positive integers \(\displaystyle x\), \(\displaystyle y\), \(\displaystyle z\).

(3 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle n\) tetszőleges egész szám. Keressünk egy olyan \(\displaystyle n=x^2+y^2-z^2\) előállítást, ahol \(\displaystyle z=y+1\). Ekkor \(\displaystyle n=x^2+y^2-(y+1)^2=x^2-(2y+1)\) alapján az \(\displaystyle n+(2y+1)\) számnak négyzetszámnak kell lennie. Mivel \(\displaystyle y\)-nak pozitív egésznek kell lennie, ezért olyan négyzetszámot keresünk, ami legalább 3-mal nagyobb, mint \(\displaystyle n\), és a paritása különbözik \(\displaystyle n\)-étől. Az \(\displaystyle (n^2+3)^2\) például ilyen. Legyen tehát \(\displaystyle x=n^2+3\), ami valóban pozitív egész, és ekkor \(\displaystyle y\)-ra

\(\displaystyle y=\frac{x^2-n-1}{2}=\frac{n^4+6n^2-n+8}{2}=3n^2+4+\frac{n^4-n}{2}\)

adódik, ami szintén pozitív egész, és így \(\displaystyle z=y+1\) is az. Ezzel a választással \(\displaystyle x^2+y^2-z^2=(n^2+3)^2-(n^4+6n^2-n+8+1)=n\), tehát egy megfelelő előállítást kaptunk.

Statistics:

120 students sent a solution.
3 points:	68 students.
2 points:	12 students.
1 point:	30 students.
0 point:	10 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017