Problem B. 4844. (January 2017)

B. 4844. Find all ordered triples \(\displaystyle (p,q,n)\) (where \(\displaystyle n\ge 2\) is a positive integer) such that there exist exactly \(\displaystyle n\) real numbers, not necessarily different, whose product is \(\displaystyle p\) and whose sum is \(\displaystyle q\).

(Proposed by I. Porupsánszki, Miskolc)

(5 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az a kérdés, hogy mely \(\displaystyle p,q\) esetén adható meg \(\displaystyle n\) darab valós szám: \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) úgy, hogy szorzatuk \(\displaystyle p\), összegük pedig \(\displaystyle q\). Vizsgáljuk meg először az \(\displaystyle n=2\) esetet. Ekkor az \(\displaystyle x_1+x_2=q, x_1x_2=p\) egyenletrendszernek pontosan akkor van (valós) megoldása, ha az \(\displaystyle x^2-qx+p=0\) egyenlet gyökei valósak. Ez pontosan akkor teljesül, ha az egyenlet diszkriminánsa nemnegatív, vagyis \(\displaystyle q^2-4p\geq 0\), azaz \(\displaystyle 4p\leq q^2\).

Legyen most \(\displaystyle n\geq 3\). Válasszunk olyan \(\displaystyle x_3,x_4,\dots, x_n\) valós számokat, amelyek szorzata \(\displaystyle -p\). (Például \(\displaystyle x_3=-p,x_4=x_5=\dots=x_n=1\) megfelelő választás.) Legyen \(\displaystyle t=x_3+x_4+\dots+x_n\). Ha találunk olyan \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) valós számokat, amelyek szorzata \(\displaystyle -1\), összege pedig \(\displaystyle q-t\), akkor az így kapott \(\displaystyle x_1,x_2,\dots,x_n\) számok szorzata \(\displaystyle p\), összege pedig \(\displaystyle q\) lesz. Az \(\displaystyle n=2\) eset szerint ilyen \(\displaystyle x_1\) és \(\displaystyle x_2\) létezik, hiszen \(\displaystyle 4\cdot(-1)\leq (q-t)^2\) biztosan teljesül.

Ezzel bebizonyítottuk, hogy pontosan azon \(\displaystyle (p,q,n)\) rendezett számhármasok esetén találhatók a feltételnek eleget tevő valós számok, melyekre vagy \(\displaystyle n\geq 3\) (és \(\displaystyle p,q\) tetszőlegesek), vagy \(\displaystyle n=2\) és \(\displaystyle 4p\leq q^2\).

Statistics:

47 students sent a solution.
5 points:	Andó Angelika, Baran Zsuzsanna, Beke Csongor, Borbényi Márton, Busa 423 Máté, Csiszár Zoltán, Daróczi Sándor, Döbröntei Dávid Bence, Gáspár Attila, Győrffy Ágoston, Hoffmann Balázs, Janzer Orsolya Lili, Keresztfalvi Bálint, Kocsis Júlia, Kovács 246 Benedek, Kővári Péter Viktor, Márton Dénes, Nagy Nándor, Németh 123 Balázs, Noszály Áron, Páli Petra, Saár Patrik, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Szabó 417 Dávid, Szabó Kristóf, Szakály Marcell, Tiszay Ádám, Tóth 827 Balázs, Tóth Viktor, Weisz Máté.
4 points:	Dobák Dávid, Gál Hanna, Kerekes Anna, Várkonyi Dorka, Zólomy Kristóf.
3 points:	4 students.
2 points:	3 students.
1 point:	2 students.
0 point:	2 students.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017