Problem B. 4848. (January 2017)
B. 4848. Find all convex polyhedra \(\displaystyle P\) whose interior contains a point \(\displaystyle O\) such that every plane passing through \(\displaystyle O\) intersects \(\displaystyle P\) in a parallelogram centred at \(\displaystyle O\).
(6 pont)
Deadline expired on February 10, 2017.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle P\) egy tetszőleges pontja, s tekintsünk egy, az \(\displaystyle XO\) egyenest tartalmazó tetszőleges síkmetszetet. Ez a síkmetszet egy \(\displaystyle O\) centrumú paralelogramma, tehát tartalmazza az \(\displaystyle X\) pont \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó \(\displaystyle X'\) tükörképét. Így \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle O\) pontra középpontosan szimmetrikus.
Most legyen \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) a \(\displaystyle P\) két tetszőleges, nem centrálisan átellenes csúcsa. Ekkor az \(\displaystyle XYO\) síkmetszet éppen az \(\displaystyle XYX'Y'\) paralelogramma, ami miatt \(\displaystyle XY\) a \(\displaystyle P\) határán van, így illeszkedik \(\displaystyle P\) valamilyen lapjára. A B.4838. feladat szerint \(\displaystyle P\) egy paralelepipedon, vagy csúcsai épp egy paralelepipedon lapközéppontjai.
Mindkét esetben van a testnek hatszög alakú centrálmetszete, ezért nincs a kívánalmaknak megfelelő konvex poliéder.
Statistics:
21 students sent a solution. 6 points: Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Gáspár Attila, Hoffmann Balázs, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth Viktor, Weisz Máté. 5 points: Alexy Milán, Keresztfalvi Bálint, Németh 123 Balázs, Szabó Kristóf. 4 points: 1 student. 3 points: 2 students. 2 points: 1 student.
Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017