Mathematical and Physical Journal
for High Schools
Issued by the MATFUND Foundation
Already signed up?
New to KöMaL?

Problem B. 4848. (January 2017)

B. 4848. Find all convex polyhedra \(\displaystyle P\) whose interior contains a point \(\displaystyle O\) such that every plane passing through \(\displaystyle O\) intersects \(\displaystyle P\) in a parallelogram centred at \(\displaystyle O\).

(6 pont)

Deadline expired on February 10, 2017.


Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen \(\displaystyle X\) a \(\displaystyle P\) egy tetszőleges pontja, s tekintsünk egy, az \(\displaystyle XO\) egyenest tartalmazó tetszőleges síkmetszetet. Ez a síkmetszet egy \(\displaystyle O\) centrumú paralelogramma, tehát tartalmazza az \(\displaystyle X\) pont \(\displaystyle O\)-ra vonatkozó \(\displaystyle X'\) tükörképét. Így \(\displaystyle P\) az \(\displaystyle O\) pontra középpontosan szimmetrikus.

Most legyen \(\displaystyle X\) és \(\displaystyle Y\) a \(\displaystyle P\) két tetszőleges, nem centrálisan átellenes csúcsa. Ekkor az \(\displaystyle XYO\) síkmetszet éppen az \(\displaystyle XYX'Y'\) paralelogramma, ami miatt \(\displaystyle XY\) a \(\displaystyle P\) határán van, így illeszkedik \(\displaystyle P\) valamilyen lapjára. A B.4838. feladat szerint \(\displaystyle P\) egy paralelepipedon, vagy csúcsai épp egy paralelepipedon lapközéppontjai.

Mindkét esetben van a testnek hatszög alakú centrálmetszete, ezért nincs a kívánalmaknak megfelelő konvex poliéder.


Statistics:

21 students sent a solution.
6 points:Baran Zsuzsanna, Borbényi Márton, Gáspár Attila, Hoffmann Balázs, Imolay András, Janzer Orsolya Lili, Kerekes Anna, Kocsis Júlia, Nagy Nándor, Schrettner Jakab, Simon Dániel Gábor, Tóth Viktor, Weisz Máté.
5 points:Alexy Milán, Keresztfalvi Bálint, Németh 123 Balázs, Szabó Kristóf.
4 points:1 student.
3 points:2 students.
2 points:1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, January 2017