Problem B. 4851. (February 2017)

B. 4851. Prove that if all three roots of the equation

\(\displaystyle x^3-px^2+qx-r=0 \)

are positive then the sum of the reciprocals of the roots is at most \(\displaystyle \frac{p^2}{3r}\).

(Proposed by M. Kovács, Budapest)

(4 pont)

Deadline expired on March 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Legyen az egyenlet három gyöke \(\displaystyle x_1,x_2,x_3\). Ekkor a Viète-formulák szerint

\(\displaystyle p=x_1+x_2+x_3,\)

\(\displaystyle q=x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1,\)

\(\displaystyle r=x_1x_2x_3.\)

(Ebből látható, hogy \(\displaystyle p,q,r\) is pozitív számok.) Ezt felhasználva a gyökök reciprokösszege:

\(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=\frac{q}{r}.\)

Így a bizonyítandó egyenlőtlenség:

\(\displaystyle \frac{q}{r}\leq \frac{p^2}{3r}.\)

Ekvivalens átalakítás, ha szorzunk a (pozitív) \(\displaystyle 3r\) számmal:

\(\displaystyle 3q\leq p^2.\)

A \(\displaystyle q\) és \(\displaystyle p\) számokat a gyökökkel kifejezve:

\(\displaystyle 3(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)\leq (x_1+x_2+x_3)^2.\)

Az egyenletet 2-vel szorozva, rendezve, és teljes négyzeteket kialakítva a következő egyenlőtlenséget kapjuk:

\(\displaystyle 0\leq (x_1-x_2)^2+(x_2-x_3)^2+(x_3-x_1)^2.\)

Ez pedig valóban teljesül, amivel a feladat állítását igazoltuk.

118 students sent a solution.

4 points: 73 students.

3 points: 36 students.

2 points: 7 students.

1 point: 2 students.

Already signed up?
New to KöMaL?