Problem B. 4875. (April 2017)

B. 4875. Line \(\displaystyle g\) encloses an angle \(\displaystyle \alpha\) with the plane determined by lines \(\displaystyle e\) and \(\displaystyle f\). Show that

\(\displaystyle \angle(e,f)+\angle(e,g)+\angle(g,f)\le \pi +\alpha. \)

(6 pont)

Deadline expired on May 10, 2017.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldásvázlat. Az egyeneseket önmagukkal párhuzamosan eltolva a bezárt szögek nem változnak, ezért feltehetjük, hogy \(\displaystyle e\), \(\displaystyle f\) és \(\displaystyle g\) illeszkedik egy közös pontra.

Rögzítsük az \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyeneseket, az általuk kifeszített sík pedig legyen \(\displaystyle S\). Legyen továbbá \(\displaystyle g\) merőleges vetülete \(\displaystyle S\)-re \(\displaystyle g'\). Tekintsük \(\displaystyle g'\)-t is rögzítettnek, ekkor a \(\displaystyle g\) egyenest már (lényegében, tükrözés erejéig) meghatározza az \(\displaystyle \alpha\) szög. Vezessük be a \(\displaystyle h(\alpha)=\angle(e,f)+\angle(e,g)+\angle(f,g)\) jelölést. Ekkor a bizonyítandó állítás: \(\displaystyle h(\alpha)\le \pi + \alpha\).

Egyszerű esetvizsgálattal megmutatható, hogy \(\displaystyle h(0)\le \pi\), valamint triviálisan teljesül a \(\displaystyle h(\pi/2)\le \pi + \pi/2\) egyenlőtlenség. Ezért elegendő lenne belátni, hogy a \(\displaystyle h(\alpha)\) függvény a \(\displaystyle [0,\pi/2]\) intervallumon konvex, ebből a bizonyítandó állítás azonnal következik. Megmutatjuk, hogy a konvexitás tagonként is teljesül. Az \(\displaystyle \angle(e,f)\) tag konstans, ami nyilvánvalóan konvex. A továbbiakban bizonyítjuk, hogy az \(\displaystyle \angle(e,g)\) tag az \(\displaystyle \alpha\) konvex függvénye, az \(\displaystyle \angle(f,g)\) hasonlóan kezelhető.

Válasszuk a koordinátarendszert úgy, hogy az egyenesek közös pontja az origó legyen, a \(\displaystyle g'\) egyenes essen az \(\displaystyle x\) tengelyre, az \(\displaystyle S\) sík pedig épp az \(\displaystyle xy\) koordinátasík legyen. Ekkor a \(\displaystyle g'\) egységnyi irányvektora \(\displaystyle (1,0,0)\). A \(\displaystyle e\) egyenes irányvektora \(\displaystyle (\cos \gamma, \sin \gamma, 0)\) alakú, ahol \(\displaystyle \gamma\) választható a \(\displaystyle [-\pi/2, \pi/2)\) intervallumból. Hasonlóan, felhasználva, hogy az \(\displaystyle S\) sík és a \(\displaystyle g\) egyenes bezárt szöge \(\displaystyle \alpha\), nyerjük, hogy \(\displaystyle g\) irányvektora \(\displaystyle (\cos \alpha, 0 , \pm \sin \alpha)\), amiből az általánosság megszorítása nélkül választható a plusz előjeles eset. Mivel az irányvektorok egységnyiek, skaláris szorzatuk éppen a bezárt szögük cosinusa, azaz

\(\displaystyle \cos(\angle(e,g))=\cos \alpha \cos \gamma.\)

Mivel \(\displaystyle \gamma \in [-\pi/2, \pi/2)\) és \(\displaystyle \alpha \in [0, \pi/2]\), ezért a jobb oldalon nemnegatív mennyiség áll, így \(\displaystyle \angle(e,g)=\arccos(\cos \alpha \cos \gamma)\). A rövidebb írásmód kedvéért legyen \(\displaystyle p=\cos \gamma \in [0,1]\), és \(\displaystyle s(\alpha)=\arccos(p\cos \alpha)\).

Az \(\displaystyle s(\alpha)\) kívánt konvexitása következik abból, ha \(\displaystyle s''\) második deriváltja a \(\displaystyle (0, \pi/2)\) intervallumon nemnegatív. Kétszer deriválva \(\displaystyle \alpha\) szerint kapjuk, hogy

\(\displaystyle s'(\alpha)=\frac{p\sin \alpha}{\sqrt{1-p^2\cos ^2\alpha}},\)

és

\(\displaystyle s''(\alpha)=\frac{p\cos \alpha \sqrt{1-p^2\cos ^2\alpha}-p\sin \alpha \frac{1}{2\sqrt{1-p^2\cos ^2\alpha}}\cdot p^2\cdot 2\cos \alpha (-\sin \alpha)}{1-p^2\cos ^2\alpha}=\frac{p\cos \alpha - p^3\cos^3\alpha+ p^3\sin^2\alpha\cos \alpha}{(1-p^2\cos ^2\alpha)^{3/2}}=\frac{p(1-p^2)\cos \alpha}{(1-p^2\cos ^2\alpha)^{3/2}}.\)

Így \(\displaystyle s''(\alpha)\) valóban nemnegatív a \(\displaystyle (0, \pi/2)\) intervallumon, amivel az állítást beláttuk.

A megoldást megvizsgálva látható, hogy egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha vagy \(\displaystyle e,f\) és \(\displaystyle g\) komplanárisak, és páronkénti szögeik egyenesszöget adnak ki, vagy páronként merőlegesek, vagy \(\displaystyle e\) és \(\displaystyle f\) egyike egybeesik \(\displaystyle g'\)-vel, másika arra merőleges.

Statistics:

12 students sent a solution.
6 points:	Baran Zsuzsanna, Busa 423 Máté, Csahók Tímea, Gáspár Attila, Imolay András, Matolcsi Dávid, Schrettner Jakab, Szabó Kristóf, Weisz Máté.
5 points:	Daróczi Sándor, Szabó 417 Dávid.
0 point:	1 student.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2017