Problem C. 1007. (November 2009)

C. 1007. Prove that the diameter of the inscribed circle of a right-angled triangle is the geometric mean of the difference between the hypotenuse and one leg, and the double of the difference between the hypotenuse and the other leg.

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2009.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A derékszögű háromszög befogóinak hossza legyenek \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\), az átogójának hossza \(\displaystyle c\), a beírt körének sugara pedig \(\displaystyle r\). Az átfogó és a befogók különbségei \(\displaystyle c-a\) és \(\displaystyle c-b\), az átmérő hossza \(\displaystyle 2r\). Bizonyítandó, hogy \(\displaystyle 2r=\sqrt{2(c-a)\cdot (c-b)}\), vagy - négyzetreemelés és 2-vel való osztás után - \(\displaystyle 2r^2=(c-a)(c-b)\). Egy derékszögű háromszögben az oldalak és a beírt kör sugara között a következő összefüggéseket használhatjuk:

\(\displaystyle a+b=c+2r \)

a beírt kör érintőszakaszaiból,

\(\displaystyle ab=(a+b+c)r, \)

ami a terület kétszerese. Az utóbbi az első összefügés segítségével \(\displaystyle ab=2r(a+b-r)\) alakban is felírható.

\(\displaystyle (c-a)(c-b)=c^2-(a+b)c + ab=a^2 + b^2 -(a+b)(a+b-2r)+ab\) Pithagoras tételének és az első összefüggésnek a felhasználásával. A szorzatot kifejtve a továbbiakban a második összefüggést használjuk:

\(\displaystyle =2r(a+b)-ab=2r\big( (a+b)-(a+b-r)\big)=2r^2\), amit igazolnunk kellett.

Statistics:

255 students sent a solution.
5 points:	193 students.
4 points:	50 students.
3 points:	2 students.
2 points:	5 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2009