Problem C. 1014. (December 2009)
C. 1014. The number of persons who booked ticket for the New Year's concert is a perfect square. If 100 more persons booked ticket then the number of spectators would be a perfect square plus 1. If still 100 more persons booked ticket then the number of spectators would be again a perfect square. How many persons booked ticket for the concert?
(5 pont)
Deadline expired on January 11, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. A feladat szerint vannak olyan \(\displaystyle n<m<p\) természetes számok, melyekkel a nézők száma \(\displaystyle n^2\), ha százan többen vannak, \(\displaystyle n^2 + 100=m^2 + 1\), ha kétszázzal többen vannak, akkor \(\displaystyle n^2 + 200 = p^2\). \(\displaystyle m^2 - n^2 = 99\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (m-n)(m+n)=1\cdot 99 = 3\cdot 33 = 9\cdot 11\) lehet. Ugyanígy \(\displaystyle p^2 - n^2 = 200\) szorzattá bontásával \(\displaystyle (p-n)(p+n)=1\cdot 200 = 2\cdot 100 = 4\cdot 50 = 5\cdot 40 = 8\cdot 25 = 10\cdot 20\) lehet. Készítsünk táblázatot \(\displaystyle n\), \(\displaystyle m\) és \(\displaystyle p\) lehetséges értékeiről.
|
|
Csak egyetlen \(\displaystyle n\) érték közös a két táblázatban, ekkor \(\displaystyle n=49\), \(\displaystyle m=50\) és \(\displaystyle p=51\). Tehát a nézőtéren \(\displaystyle 49^2\)-en, azaz \(\displaystyle \mathbf{2401}\)-en voltak.
Statistics:
321 students sent a solution. 5 points: 218 students. 4 points: 40 students. 3 points: 21 students. 2 points: 17 students. 1 point: 16 students. 0 point: 6 students. Unfair, not evaluated: 3 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, December 2009