Problem C. 1024. (February 2010)
C. 1024. The degree of a polynomial p(x) is at most four. It has zeros and also minima at x1=-3 and x2=5. Given that the polynomial q(x)=p(x-1) is even and has a local maximum value of 256, find the polynomial p(x).
(5 pont)
Deadline expired on April 12, 2010.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
1. megoldás. Mivel \(\displaystyle p\) legfeljebb negyedfokú és az 5, ill a -3 gyökei, ezért \(\displaystyle p(x)=(ax^2 + bx + c)(x+3)(x-5)\). \(\displaystyle p\)-nek (legalább) két minimumhelye van, ezért legalább negyedfokú. (Ugyanis \(\displaystyle p\) legalább másodfokú a két gyök miatt, de annak legfeljebb egy minimumhelye lehet. Ha \(\displaystyle p\) harmadfokú lenne, akkor \(\displaystyle q\) is harmadfokú, de az nem lehet páros.) Ezért \(\displaystyle a\ne 0\). \(\displaystyle q(x) = p(x+1) = (a(x+1)^2 + b(x+1) + c)((x+1)+3)((x+1)-5) = (ax^2 + (2a+b)x +a+b+c)(x+4)(x-4)\) páros, amiből következik, hogy ha \(\displaystyle x_0\) gyöke, akkor \(\displaystyle -x_0\) is gyöke. Ezért \(\displaystyle ax^2 + (2a+b)x +a+b+c = a(x-x_0)(x+x_0) = a(x^2 - x_0^2)\) alakú, tehát \(\displaystyle 2a+b=0\). Ha \(\displaystyle p\)-nek a zérushelyei egyben lokális minimumhelyek is voltak, akkor a (vízszintesen) eltolt \(\displaystyle q\) zérushelyei is lokális minimumhelyek. Ha \(\displaystyle x_0\ne 4\), akkor van olyan \(\displaystyle c\), amire \(\displaystyle q(c)< 0\), ekkor van maximumhely \(\displaystyle 4\) és \(\displaystyle c\) között, szimmetrikusan \(\displaystyle -4\) és \(\displaystyle -c\) között is (az értéke 256). Ekkor pl. a \(\displaystyle q^*(x) = q(x)+1\) polinomnak hat gyöke lenne, de ez nem lehetséges, mert \(\displaystyle q^*(x)\) is negyedfokú. Tehát \(\displaystyle q(x)\)-nek pontosan egy lokális maximumhelye van, az \(\displaystyle x_{max}=0\), továbbá \(\displaystyle q(x)\ge 0\) és \(\displaystyle x_0 = 4\). Ezért \(\displaystyle q(x)=a(x^2-16)\), \(\displaystyle q(0)=256\), tehát \(\displaystyle a=1\). Innen \(\displaystyle p(x)=q(x-1)=((x+3)(x-5)) ^2 = (x^2 -2x -15)^2\).
2. megoldás. \(\displaystyle p(x)=(ax^2 + bx + c)(x+3)(x-5)\) alakba írható, \(\displaystyle q(x) = p(x+1) = (a(x+1)^2 + b(x+1) + c)((x+1)+3)((x+1)-5) = (ax^2 + (2a+b)x +a+b+c)(x+4)(x-4)\). A párossága miatt \(\displaystyle 2a+b=0\), így \(\displaystyle q(x) = ax^4 + (c-a-16)x^2 -16(c-a)\). Szélsőértékeit deriválással állapítsuk meg: \(\displaystyle q'(x)= 4ax^3 + 2(c-a-16)x=0\) egyenlet megoldásaiból adódhatnak. \(\displaystyle x=0\) egy gyök, a továbbiak \(\displaystyle \pm \sqrt{\frac{16+a-c}{2a}}\), melyekről tudjuk, hogy valóban szélsőértékek: minimumhelyek, mégpedig a \(\displaystyle \pm 4\). Ezért \(\displaystyle c=16-31a\). Mivel minimumhelyek voltak, ezért \(\displaystyle q'(x)\) pozitív, ha \(\displaystyle -4<x<0\) vagy \(\displaystyle 4<x\), továbbá negatív, ha \(\displaystyle x<-4\) vagy \(\displaystyle 0<x<4\). Ezért \(\displaystyle x=0\)-ban maximuma van \(\displaystyle q(x)\)-nek, a maximum értéke 256 (a feladat szerint). Ugyanakkor \(\displaystyle 256=q(0)=-16(c-a)=-16(16-32a)\), ahonnan \(\displaystyle c-a=16\) és \(\displaystyle a=1\). \(\displaystyle q(x)=x^4 -32x^2 + 256\), azaz \(\displaystyle p(x)=q(x-1)=x^4-4x^3-26x^2+60x+225\)
Statistics:
120 students sent a solution. 5 points: Adrián Patrik, Baráti László, Benyó Krisztián, Blóz Gizella Evelin, Bodnár Patrícia, Bogár Blanka, Böröcz Bence, Böröczky Dezső, Brunda Dániel, Csere Kálmán, Dolgos Tamás, Doma Péter, Földvári Gábor, Gehér Péter, Gózon Georgina, Gyarmati Máté, Jezeri András, Juhász-Bóka Bernadett, Király Edit, Kis Attila Soma, Kiss 986 Mariann, Kitzinger Andor, Madarasi Adrienn, Medvey Fanni, Menyhárt 666 Balázs, Mihálykó András, Molnár Bertalan, Müller Adrienn, Nagy 021 Tibor, Nánási József, Remete László, Repka 666 Dániel, Samu Viktor, Somogyi Ákos, Szabó 928 Attila, Szakács Enikő, Szende Tamás, Szigeti Bertalan György, Trócsányi Péter, Weimann Richárd. 4 points: 14 students. 3 points: 14 students. 2 points: 10 students. 1 point: 18 students. 0 point: 18 students. Unfair, not evaluated: 6 solutionss.
Problems in Mathematics of KöMaL, February 2010