Problem C. 1030. (April 2010)

C. 1030. x and y are real numbers such that x+3y=12 and x2y0. What values may x+2y have?

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Ha \(\displaystyle x+3y=12\), akkor \(\displaystyle y=\frac{12-x}{3}\). Az \(\displaystyle x\ge 2y\ge 0\) szerint \(\displaystyle y\ge 0\) és \(\displaystyle y\le \frac 12 x\). Legyen \(\displaystyle x+2y=C\), azaz \(\displaystyle y=\frac{C-x}{2}\). Ábrázoljuk a lehetséges (x, y) párokat koordnátarendszerben.

Az \(\displaystyle y=\frac{12-x}{3}\) egyenes azon pontjai lesznek jók, amik a satírozott területbe eső szakaszon vannak. \(\displaystyle C\) értékeket meghatározhatjuk, ha ezen szakasz pontjain át -1/2 meredekségű egyeneseket húzunk: az \(\displaystyle y\) tengelyt \(\displaystyle C/2\)-ben metszik. Az összes egyenes egy ``szalagot'' határoz meg, amelyeket a szakasz végpontjain át húzott egyenesek határoznak meg. E szerint \(\displaystyle C\) értékének felét ez a két határolóegyenes határozza meg. A szakasz végpontjait az \(\displaystyle x+3y=12, x=2y\) és az \(\displaystyle x+3y=12, y=0\) egyenletrendszerekből számolhatjuk ki. A felső végpont a \(\displaystyle \left(\frac{24}{5},\ \frac{12}{5}\right)\), az alsó végpont \(\displaystyle (12,\ 0)\). Tehát \(\displaystyle 9,6\le C=x+2y\le 12\).

Statistics:

200 students sent a solution.
5 points:	143 students.
4 points:	9 students.
3 points:	12 students.
2 points:	4 students.
1 point:	12 students.
0 point:	15 students.
Unfair, not evaluated:	5 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2010