Problem C. 1053. (November 2010)

C. 1053. Prove that the sum (2n-1)²ⁿ⁺¹+(2n+1)^2n-1 is divisible by 4.

(Based on the idea of G. Holló, Budapest)

(5 pont)

Deadline expired on December 10, 2010.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

1. megoldás. Vizsgáljuk meg a tagok maradékát 4-gyel osztva \(\displaystyle n\) paritása szerint. Ha \(\displaystyle n=2k\) (páros), akkor az első tag \(\displaystyle (4k-1)^{4k+1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle (-1)^{4k+1}=-1\) maradékot ad. A második tag \(\displaystyle (4k+1)^{4k-1}\) alakú, mely 4-gyel osztva \(\displaystyle 1^{4k-1}=1\) maradékot ad, így összegük 0 maradékot ad 4-gyel osztva, tehát osztható 4-gyel. Ha páratlan, azaz \(\displaystyle n=2l+1\), akkor az első tag \(\displaystyle (4l+1)^{4l+3}\), ami 2 maradékot ad 4-gyel osztva, míg a második tag \(\displaystyle (4l+3)^{4l+1}\), ami -1 maradékot ad. Tehát ebben az esetben is igaz, hogy az összeg osztható 4-gyel.

2. megoldás. \(\displaystyle (2n-1)^{2n+1}+(2n+1)^{2n-1}=(2n-1)^2 \cdot (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}=(4n^2 + 4n)(2n-1)^{2n-1} + (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) összegben az első tag osztható 4-gyel, mert \(\displaystyle 4n^2+4n=4n(n+1)\) osztható 4-gyel. A második két tag összege \(\displaystyle a^{2k+1}+b^{2k+1}\) alakú, amiből \(\displaystyle (a+b)\) ``kiemelhető'', azaz használva az \(\displaystyle (a+b)(a^{2k}-ba^{2k-1}+b^2 a^{2k-2}-+\dots -b^{2k-1 a + b^{2k}})\) azonosságot \(\displaystyle (2n-1)^{2n-1}+(2n+1)^{2n-1}\) osztható \(\displaystyle (2n-1)+(2n+1)=4n\)-nel, ami osztható 4-gyel.

Statistics:

228 students sent a solution.
5 points:	72 students.
4 points:	62 students.
3 points:	33 students.
2 points:	20 students.
1 point:	24 students.
0 point:	11 students.
Unfair, not evaluated:	6 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, November 2010