Problem C. 1072. (March 2011)

C. 1072. Prove that the radius of the inscribed circle of a right-angled triangle is smaller than three tenths of the longer leg.

(5 pont)

Deadline expired on April 11, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

A derékszögű háromszög oldalainak hossza legyen \(\displaystyle a\le b<c\), a beírt kör sugara pedig \(\displaystyle r\). Ismert az összefüggés közöttük: \(\displaystyle a+b=c+2r\).

1. megoldás Tegyük fel, hogy \(\displaystyle r\ge\frac3{10}b\). Ekkor \(\displaystyle \frac{a+b-c}2\ge\frac3{10}b\), azaz \(\displaystyle a+\frac25 b \ge c\), ahonnan (tekintve, hogy poziív kifejezésekről van szó) \(\displaystyle a^2+\frac45 ab + \frac4{25}b^2 \ge c^2=a^2+b^2\). Innen (\(\displaystyle b\ne 0\)) \(\displaystyle a\ge\frac{21}{20}b>b\), ami ellentmond feltételünklnek, azaz \(\displaystyle r<\frac3{10}b\).

2. megoldás \(\displaystyle r=\frac{a+b-c}2=\frac{a+b}2-\frac{\sqrt{a^2+b^2}}2=\frac{a+b}2-\frac1{\sqrt2}\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\). Használjuk két nemnegatív szám számtani és négyzetes közepe közötti egyenlőtlenséget: \(\displaystyle r\le \frac{a+b}2-\frac1{\sqrt2}\frac{a+b}2\le b\left(1-\frac1{\sqrt2}\right)<\frac3{10}b\).

Statistics:

124 students sent a solution.
5 points:	64 students.
4 points:	21 students.
3 points:	26 students.
2 points:	6 students.
1 point:	4 students.
0 point:	2 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, March 2011