Problem C. 1076. (April 2011)

C. 1076. The roots of a quadratic equation are the squares of two consecutive integers. The geometric mean of the two roots is 1 greater than the difference of the roots. Write down the quadratic equation in question.

(5 pont)

Deadline expired on May 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A feladat alapján a szóban forgó másodfokú egyenlet \(\displaystyle c(x-a^2)(x-(a+1)^2)=0\). A gyökökre vonatkozó feltétel szerint \(\displaystyle a(a+1)-1=(a+1)^2 - a^2\), azaz \(\displaystyle a^2 +a -1 = 2a+1\), \(\displaystyle a^2 - a -2=0\), ahonnan \(\displaystyle a_1=2\) és \(\displaystyle a_2=-1\).

A feladat feltételeinek két másodfokú egyenlet felel meg:

1. \(\displaystyle c_1(x^2-13x+36)=0\), melynek gyökei \(\displaystyle 2^2\) és \(\displaystyle 3^2\),

2. \(\displaystyle c_2(x^2 - x)=0\), melynek gyökei \(\displaystyle (-1)^2\) és \(\displaystyle 0^2\).

Statistics:

170 students sent a solution.
5 points:	Ádám Anna Kinga, Balázsi Tamás, Balogh Tamás, Béres Bertold, Bingler Arnold, Bodnár Patrícia, Bunta Roland Árpád, Déri Tamás, Fejős Dániel, Fonyó Viktória, Fülep Andrea , Gema Barnabás, Hagymási Judit, Hajnal Máté, Kasó Márton, Király Edit, Kromberger Fanni, Lévai 482 Nikolett, Madarasi Adrienn, Márki Gabriella, Martinka Mátyás, Nagy 021 Tibor, Nagy Tamás, Paróczi Petra, Prokaj Dániel, Sagmeister Ádám, Straubinger Dániel, Szabó 777 Bence, Szaksz Bence, Szigeti Bertalan György, Tamás Ádám, Tóth 994 Anikó, Tóth Endre, Varga 149 Imre Károly, Varga Zoltán Attila, Vargha Sára, Végh Dávid András, Vető Bálint, Vizsy Violetta, Zsupos Rebeka.
4 points:	58 students.
3 points:	38 students.
2 points:	13 students.
1 point:	10 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	2 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, April 2011