Problem C. 1082. (May 2011)

C. 1082. The first digit of a six-digit number is transferred to the end of the number. Then the first digit of the resulting six-digit number is, again, transferred to the end of the number. The six-digit number obtained in this way is three times the previous number and times the original number. What is the original six-digit number?

(5 pont)

Deadline expired on June 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. A hatjegyű számot maradékosan osztva 10000-rel kapjuk az \(\displaystyle n\) (\(\displaystyle 99\ge n\ge 11\)) hányadost és \(\displaystyle m\) maradékot. A feladat második feltétele szerint \(\displaystyle 100m+n=\frac 35 (10000n + m)\), ahonnan \(\displaystyle 500m+5n=30000n+3m\), azaz \(\displaystyle 497m=29995n\), melyet egyszerűsítve \(\displaystyle 71m=4285n\). Mivel 71 és 4285 relatív prímek, ezért 71 osztója \(\displaystyle n\)-nek: \(\displaystyle n=71\) a feltétel szerint, és ezért \(\displaystyle m=4285\). A lehetséges eredeti hatjegyű szám a 714 285. Ellenőrizzük a feladat első részét: a 7 áthelyezésével kapjuk a 142 857-t, majd a \(\displaystyle 428\ 571=3\cdot 142\ 857\). Az eredetileg gondolt hatjegyű szám a 714 285 volt.

Statistics:

100 students sent a solution.
5 points:	91 students.
4 points:	2 students.
3 points:	2 students.
1 point:	1 student.
0 point:	3 students.
Unfair, not evaluated:	1 solutions.

Problems in Mathematics of KöMaL, May 2011