Problem C. 1085. (September 2011)

C. 1085. There are n coins on the table, with their tails side facing upwards. In each step, n-1 coins are turned over. Is it possible to achieve that all coins have heads facing upwards?

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. 1. eset: \(\displaystyle n\) páros szám. Ekkor elérhető, hogy mindegyik érmén fej legyen felül. Az algoritmus a következő: Egymás mellé rakva az érméket, számozzuk meg őket 1-től \(\displaystyle n\)-ig. Az 1. lépésben fordítsuk meg a 1., 2., ..., \(\displaystyle n-1\). érmét. A 2. lépésben fordítsuk meg a 2., 3., ..., \(\displaystyle n.\) érmét. És így tovább, a \(\displaystyle k\). (\(\displaystyle 3\leq k\leq n\)) lépésben fordítsuk meg az \(\displaystyle 1\)., \(\displaystyle 2\).,..., \(\displaystyle k-2\)., \(\displaystyle k\)., \(\displaystyle k+1.\),..., \(\displaystyle n-1\)., \(\displaystyle n\). érmét.

A végén minden érmét pontosan \(\displaystyle n-1\)-szer fordítottunk meg (\(\displaystyle k<n\) esetén a \(\displaystyle k\). érmét csak a \(\displaystyle k+1\). lépésben nem fordítottuk meg, az \(\displaystyle n\). érmét pedig csak az első lépésben). Mivel \(\displaystyle n-1\) páratlan szám, így a végén minden érmén a fej lesz felül.

2. eset: \(\displaystyle n\) páratlan szám. Ekkor nem érhető el, hogy minden érmén fej legyen felül. Hiszen ha bizonyos számú lépés után minden érmén fej lenne, akkor ez azt jelentené, hogy mindegyik érmét páratlan sokszor fordítottuk meg. Mivel páratlan számú érménk van, ez összesen páratlan számú fordítást jelent. Ez viszont lehetetlen, mert minden lépésben páros számú érmét fordítunk.

Szilágyi Krisztina (Újvidék, Jovan Jovanovic Zmaj Gimn., 9. o. t.)

Statistics:

438 students sent a solution.
5 points:	198 students.
4 points:	41 students.
3 points:	74 students.
2 points:	39 students.
1 point:	52 students.
0 point:	31 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011