Problem C. 1086. (September 2011)

C. 1086. In a right-angled triangle the length of the angle bisector of the right angle is and it divides the hypotenuse in a 1:2 ratio. Calculate the length of the altitude drawn to the hypotenuse.

(5 pont)

Deadline expired on October 10, 2011.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Mivel egy háromszögben egy szögfelező a szögszáron levő oldalak hosszának arányában osztja a szöggel szemközti oldalt, ezért a derékszögű háromszög oldalai \(\displaystyle a\), \(\displaystyle 2a\) és \(\displaystyle \sqrt 5 a\), az átfogóhoz tartozó magasság pedig \(\displaystyle m=\frac{2}{\sqrt 5}a\). A rövidebbik befogó és a szögfelező határolta háromszögben e két oldal bezárt szöge \(\displaystyle 45^\circ\): koszinusz-tételt felírhatjuk \(\displaystyle \left(\frac{\sqrt 5 }3 a\right)^2=(2\sqrt{10})^2 + a^2 -2 \cdot 2\sqrt{10}\cdot a\cdot \frac{\sqrt 2}2\). Megoldva a \(\displaystyle \frac49 a^2 -4\sqrt5 a +40=0\) egyenletet (\(\displaystyle a=0\) és) \(\displaystyle a=9\sqrt5\). A háromszög átfogójához tartozó magassága tehát \(\displaystyle \frac{2}{\sqrt 5}\cdot 9\sqrt5=\mathbf{18}\).

Statistics:

372 students sent a solution.
5 points:	281 students.
4 points:	16 students.
3 points:	32 students.
2 points:	23 students.
1 point:	8 students.
0 point:	9 students.
Unfair, not evaluated:	3 solutionss.

Problems in Mathematics of KöMaL, September 2011